平面问题的有限元法

平面问题的有限单元法第三节形函数的性质第五节等效节点力载荷列阵第六节有限元分析的实施步骤第一节有限元法基本思想和解题步骤第二节三角形常应变单元第四节刚度矩阵返回第一节有限元法基本思想和解题步骤一、有限元法的基本思想假想的把一连续体分割成数目有限的小体（单元），彼此间只在数目有限的指定点（节点）相互连结，组成一个单元的集合体以代替原来的连续体，再在节点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。选择一个简单的函数来近似地表示位移分量的分布规律，建立位移和节点力之间的关系。有限元法的实质是：把有无限个自由度的连续体，理想化为只有有限个自由度的单元集合体，使问题简化为适合于数值解法的结构型问题。返回二、经典解与有限元解的区别：微分数目增到∞建立一个描述连续体经典解法——（解析法）大小趋于0性质的偏微分方程有限单元离散化集合总体分析解有限元法——连续体——单元——代替原连续体（近似法）（单元分析）线性方程组返回xy为平面应力问题，由于结构的对称性可取结构的1/4来研究，故所取的力学模型三、有限元法算题的基本步骤1.力学模型的选取（平面问题，平面应变问题，平面应力问题，轴对称问题，空间问题，板，梁，杆或组合体等，对称或反对称等）例如：返回根据题目的要求，可选择适当的单元把结构离散化。对于平面问题可用三角元，四边元等。2.单元的选取、结构的离散化例如：返回结构离散化后，要用单元内结点的位移通过插值来获得单元内各点的位移。在有限元法中，通常都是假定单元的位移模式是多项式，一般来说，单元位移多项式的项数应与单元的自由度数相等。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。eNf3.选择单元的位移模式（3-1）f——单元内任一点的位移列阵；e——单元的结点位移列阵；N——单元的形函数矩阵；（它的元素是任一点位置坐标的函数）返回eBeBD4.单元的力学特性分析把（3-1）式代入几何方程可推倒出用单元结点位移表示的单元应变表达式：（3-2）式中：——单元内任一点应变列阵；B——单元的应变矩阵；（它的元素仍为位置坐标的函数）再把（３－２）式代入物理方程，可导出用单元结点位移列阵表示的单元应力表达式：（3-3）返回最后利用弹性体的虚功方程建立单元结点力阵与结点位移列阵之间的关系，即形成单元的刚度方程式：eeekRvTedxdydzBDBk式中：——单元内任一点的应力列阵；D——单元的弹性矩阵，（它与材料的特性有关）式中：——单元刚度矩阵（3-4）（3-5）返回考虑整体结构的约束情况，修改整体刚度方程之后，（3-6）式就变成以节点位移为未知数的代数方程组。解此方程组可求出节点位移。用直接刚度法将单刚组集成总纲，并将组集成总载荷列阵，形成总体结构的刚度方程：ekKeRR（3-6）解出整体结构的节点位移列阵后，再根据单元节点的编号找出对应于单元的位移列阵，将代入（3-3）式就可求出各单元的应力分量值。eeRK5.建立整体结构的刚度方程6.求解修改后的整体结构刚度方程7.由单元的节点位移列阵计算单元应力返回求解出整体结构的位移和应力后，可有选择地整理输出某些关键点的位移值和应力值，特别要输出结构的变形图、应力图、应变图、结构仿真变形过程动画图及整体结构的弯矩、剪力图等等。8.计算结果输出返回第二节三角形常应变单元一、离散化在运用有限单元法分析弹性力学平面问题时，第一步就是要对弹性体进行离散化，把一个连续的弹性体变换为一个离散的结构物。对于平面问题，三角形单元是最简单、也是最常用的单元，在平面应力问题中，单元为三角形板，而在平面应变问题中，则是三棱柱。假设采用三角形单元，把弹性体划分为有限个互不重叠的三角形。这些三角形在其顶点（即节点）处互相连接，组成一个单元集合体，以替代原来的弹性体。同时，将所有作用在单元上的载荷（包括集中载荷、表面载荷和体积载荷），都按虚功等效的原则移置到节点上，成为等效节点载荷。由此便得到了平面问题的有限元计算模型，如图3-1所示。返回图3-1弹性体和有限元计算模型返回图3--2平面三角形单元返回二、位移TmmjjiiTTmTjTievuvuvuTiiivu首先，建立以单元节点位移表示单元内各点位移的关系式。设单元e的节点编号为i、j、m。由弹性力学平面问题可知，每个节点在其单元平面内的位移可以有两个分量，所以整个三角形单元将有六个节点位移分量，即六个自由度。用列阵可表示为：其中的子矩阵（i，j，m轮换）(a)式中ui、vi是节点i在x轴和y轴方向的位移。(3-7)返回uxyvxy123456选择一个单元位移模式，单元内各点的位移可按此位移模式由单元节点位移通过插值而获得。线性函数是一种最简单的单元位移模式，故设(b)式中1、2、…6是待定常数。因三角形单元共有六个自由度，且位移函数u、v在三个节点处的数值应该等于这些点处的位移分量的数值。假设节点i、j、m的坐标分别为（xi,yi）、（xj,yj）、（xm,ym），代入(b)式，得：返回uxyvxyuxyvxyuxyvxyiiijiijjjjjjmmmmmm123456123456123456,,,mmjjii3mmjjii2mmmjjjiii1ux1ux1ux121,yu1yu1yu121,yxuyxuyxu212111xyxyxyiijjmm(c)由(c)式左边的三个方程可以求得(d)其中(3-8)从解析几何可知，式中的就是三角形i、j、m的面积。为保证求得的面积为正值，节点i、j、m的编排次序必须是逆时针方向，如图3-2所示。返回图3-2平面三角形单元将(d)式代入(b)式的第一式，经整理后得到uabxcyuabxcyuabxcyuiiiijjjjmmmm12(e)返回mjmjimjmjijmmjmmjjixxxxcyyyybyxyxyxyxa1111vabxcyvabxcyvabxcyviiiijjjjmmmm12Nabxcyiiii12其中同理可得若令这样，位移模式(e)和(f)就可以写为（i,j,m轮换）(3-10)（i,j,m轮换）(3-9)(f)返回式中I是二阶单位矩阵；Ni、Nj、Nm是坐标的函数，它们反映了单元的位移状态，所以一般称之为形状函数，简称形函数。矩阵[N]叫做形函数矩阵。三节点三角形单元的形函数是坐标的线性函数。单元中任一条直线发生位移后仍为一条直线，即只要两单元在公共节点处保持位移相等。则公共边线变形后仍为密合。uNuNuNuvNvNvNviijjmmiijjmmeemjiNINININvuf(3-11)也可写成矩阵形式(3-12)返回三、应变xyxyuxvyuyvx12000000bbbccccbcbcbijmijmiijjmme有了单元的位移模式，就可以利用平面问题的几何方程求得应变分量。将(e)、(f)两式代入上式，即得：(g)返回BeBBBBijmBbccbiiiii1200可简写成其中[B]矩阵叫做单元应变矩阵，可写成分块形式而子矩阵由于和bi、bj、bm、ci、cj、cm等都是常量，所以矩阵[B]中的诸元素都是常量，因而单元中各点的应变分量也都是常量，通常称这种单元为常应变单元。（i,j,m轮换）(3-15)(3-14)(3-13)返回四、应力DBeSDBSeD求得应变之后，再将（3-13）式代入物理方程，便可推导出以节点位移表示的应力。即(3-16)(h)(3-17)令则返回SDBBBSSSijmijmDE11100122对称SDBEbcbccbiiiiiiii2112122其中[S]叫做应力矩阵，若写成分块形式，有对于平面应力问题，弹性矩阵[D]为(3-18)(i)所以，[S]的子矩阵可记为（i,j,m轮换）(3-19)返回DE1112111001221对称SDBEbcbccbiiiiiiii121121112211221对于平面应变问题，只要将(i)式中的E换成E/1-2，换成/1-，即得到其弹性矩阵(j)（i,j,m轮换）(3-20)返回SSSiijjmm注意到（3-7）式，则有(3-21)由（3-19）、（3-20）式不难看出，[S]中的诸元素都是常量，所以每个单元中的应力分量也是常量。可见，对于常应变单元，由于所选取的位移模式是线性的，因而其相邻单元将具有不同的应力和应变，即在单元的公共边界上应力和应变的值将会有突变，但位移却是连续的。返回第三节形函数的性质Nabxcyiiii122111xyxyxyiijjmm在上节中，提出了形函数的概念，即其中（i,j,m轮换）现在我们来讨论一下形函数所具有的一些性质。根据行列式的性质：行列式的任一行（或列）的元素与其相应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素与其他行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为零，并注意到（3-9）式中的常数ai、bi、ci，aj、bj、返回Nxyabxcyiiiiiiim,121Nxyabxcyijjiijij,120Nxyabxcyimmiimim,120cj和am、bm、cm分别是行列式2的第一行、第二行和第三行各元素的代数余子式，我们有⒈形函数在各单元节点上的值，具有“本点是1、它点为零”的性质，即在节点i上，在节点j、m上，(a)(b)(c)返回NxyNxyNxyNxyNxyNxyjiijjjjmmmiimjjmmm,,,,,,,,,,101000NxyNxyNxyabxcyabxcyabxcyaaabbbxcccyijmiiijjjmmmimmijmijm,,,12121类似地有(d)⒉在单元的任一节点上，三个形函数之和等于1，即(e)返回NNNijm1NxyxxxxNxyxxxxNxyiijijijij,,,10简记为(3-22)这说明，三个形函数中只有二个是独立的。⒊三角形单元任意一条边上的形函数，仅与该边的两端节点坐标有关、而与其它节点坐标无关。例如，在ij边上，有(3-23)返回yyyxxxxbcxxyijijimmiiNxyabxcbcxxyabxcymmmmmmiimmimi,12120Nxyabxcbcxxyabxcybxxbccxxbcbccxxjjjjmmiijjijijimjmijmmjmi,121212事实上，因ij边的直线方程方程为(f)