函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全

函数对称性、周期性和奇偶性规律一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、周期性：对于函数)(xfy，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有)()(xfTxf都成立，那么就把函数)(xfy叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。2、对称性定义（略），请用图形来理解。3、对称性：我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(xfxf奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(xfxf探讨：（1）函数)(xfy关于ax对称)()(xafxaf)()(xafxaf也可以写成)2()(xafxf或)2()(xafxf若)()(xbfxaf，函数)(xfy关于直线22)()(baxbxax对称（2）函数)(xfy关于点),(ba对称bxafxaf2)()(bxfxaf2)()2(上述关系也可以写成或bxfxaf2)()2(若cxbfxaf)()(，函数)(xfy关于点)2,2(cba对称4.周期性：（1）函数)(xfy满足如下关系系，则Txf2)(的周期为A、)()(xfTxfB、)(1)()(1)(xfTxfxfTxf或C、)(1)(1)2(xfxfTxf或)(1)(1)2(xfxfTxf（等式右边加负号亦成立）D、其他情形（2）函数)(xfy满足)()(xafxaf且)()(xbfxbf，则可推出)](2[)]2([)]2([)2()(abxfbxabfbxabfxafxf即可以得到)(xfy的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”（3）如果奇函数满足)()(xfTxf则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为kTTx22)(zk，根据)2()(Txfxf可以找出其对称中心为)0(kT，)(zk（以上0T）如果偶函数满足)()(xfTxf则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为)0,22(kTT)(zk，根据)2()(Txfxf可以推出对称轴为kTTx2)(zk（以上0T）（4）如果奇函数)(xfy满足)()(xTfxTf（0T），则函数)(xfy是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数)(xfy满足)()(xTfxTf（0T），则函数)(xfy是以2T为周期的周期性函数。定理3：若函数xf在R上满足xafxaf)(，且xbfxbf)(（其中ba），则函数xfy以ba2为周期.定理4：若函数xf在R上满足xafxaf)(，且xbfxbf)(（其中ba），则函数xfy以ba2为周期定理5：若函数xf在R上满足xafxaf)(，且xbfxbf)(（其中ba），则函数xfy以ba4为周期.二、两个函数的图象对称性1、)(xfy与)(xfy关于X轴对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf，即它们关于0y对称。2、)(xfy与)(xfy关于Y轴对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf，即它们关于0x对称。3、)(xfy与)2(xafy关于直线ax对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)2()(xagxf，即它们关于ax对称。4、)(xfy与)(2xfay关于直线ay对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足axgxf2)()(，即它们关于ay对称。5、)2(2)(xafbyxfy与关于点(a,b)对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足bxagxf2)2()(，即它们关于点(a,b)对称。6、)(xafy与)(bxy关于直线2bax对称。7、函数的轴对称：定理1：如果函数xfy满足xbfxaf，则函数xfy的图象关于直线2bax对称.推论1：如果函数xfy满足xafxaf，则函数xfy的图象关于直线ax对称。推论2：如果函数xfy满足xfxf，则函数xfy的图象关于直线0x（y轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.8、函数的点对称：定理2：如果函数xfy满足bxafxaf2，则函数xfy的图象关于点ba,对称.推论3：如果函数xfy满足0xafxaf，则函数xfy的图象关于点0,a对称.推论4：如果函数xfy满足0xfxf，则函数xfy的图象关于原点0,0对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.三、总规律：定义在Ｒ上的函数xfy，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。抽象函数的对称性与周期性一、抽象函数的对称性。性质1、若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价：（1）f(a＋x)＝f(a－x)。（2）f(2a－x)＝f(x)。（3）f(2a＋x)＝f(－x)。性质2、若函数y＝f(x)关于点(a,0)中心对称，则以下三式成立且等价：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)。（2）f(2a－x)＝－f(x)。（3）f(2a＋x)＝－f(－x)。注：y＝f(x)为偶函数是性质1当a＝0时的特例，f(－x)＝f(x)。y＝f(x)为奇函数是性质2当a＝0时的特例，f(－x)＝-f(x)。二、复合函数的奇偶性。性质1、复数函数y＝f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]。复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]。性质2、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)。性质3、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则y＝f(x)关于直线x＝a轴对称。复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则y＝f(x)关于点(a,0)中心对称。三、函数的周期性。性质、若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点，有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。①f(x＋a)＝f(x－a)，②f(x＋a)＝－f(x)，③f(x＋a)＝1/f(x)，④f(x＋a)＝－1/f(x)。四、函数的对称性与周期性。性质1、若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|。性质2、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|。性质3、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|。五、复合函数的对称性。性质1、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b-x)关于直线x＝(b-a)/2轴对称。性质2、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝-f(b-x)关于点((b-a)/2,0)中心对称。推论1、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称。推论2、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称。