高等数学下册-考点总结

1第五章定积分1．定积分基本公式)()(|)()(aFbFxFdxxfbaba其中)(xf在[a,b]上连续，)(xF是)(xf在[a,b]上的一个原函数。badxxf)(=abdxxf)(，aadxxf)(02．积分上限函数（变上限函数）设函数)(xf在[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的任意一点.则xadttfx)()(称为积分上限函数（变上限函数）.xaxfdttfdxdx)()()(几个重要的求导公式（1）xaxfdttfdxd)()(（2）axxfdttfdxd)()(（3）)(])([)()(xxfdttfdxdxa（4）)(])([)()(xxfdttfdxdax（5）)()]([)(])([)(112)()(221xxfxxfdttfdxdxx3．换元法（1）第一类换元法dxxxfdxxgbaba)()]([)()()]([xdxfba)]([)]([)]]([[aFbFxFba或令)(xu，则原式=)()()()()]([)(babauFuduf)]([)]([aFbF（2）第二类换元法(特别是根式代换法)badxxf)()(')]([dtttfa)(，b)(4．分部积分法baxdvxu)()(=baxvxu)]()([baxduxv)()(5、当)(xf在],[aa上连续，2①若)(xf为偶函数，则aaadxxfdxxf0)(2)(；②若)(xf为奇函数，则aadxxf0)(.第六章定积分的应用1、平面图形的面积（1）直角坐标的情形（2）参数方程的情形曲边梯形的曲边由参数方程xtyt()()给出时，其面积计算公式为21()(())tbatAydxtdt其中t1及t2分别曲线的起点与终点的所对应的参数值。badxxfA)(dyyA)(badxxgxfA)()()()(dyyyA)(xfyyOabx图6-1y)(yxxO图6-3yxOab)(xfy)(xgy图6-2)(yx)(yxyxO图6-43（3）极坐标的情形2、旋转体的体积①由曲线)(xfy，直线,ax)(babx及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为：.)(22babadxxfdxyV②由曲线)(yx，直线,cy)(dcdy与y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为：22()ddccVxdyydy3、平面曲线的弧长①曲线:L)(xfy)(bxa,则对应的曲线弧长为：.)(1122babadxxfdxys②曲线:L)()()(ttytx，那么，则对应的曲线弧长为：dttts22)()(③曲线:L)(,)(rr，则对应的曲线弧长为：drrs22)()(dA2)(21dA)()(212122yx图6-7)(xfyabOxO图6-8)(yxycd)(2r)(1rOx图6-6)(rxO图6-54第七章空间解析几何与向量代数1.向量基本概念向量的坐标表示式设),,(kzyxzyxaaaajaiaa，则,222zyxaaaa设有点),,(),,,(22221111zyxMzyxM,则)()()(12121221kzzjyyixxMM两点间的距离（即向量21MM的模）为21221221221)()()(zzyyxxMMd向量的模,方向余弦,方向角,kzjyixa,222zyxa222222222cos,cos,coszyxzzyxyzyxx其中,,是向量a的方向角,cos,cos,cos称为a的方向余弦2.向量的线性运算}{321,a,aaa，}{b321,b,bb，则},,{332211babababa}{321a,a,aaλ3.两向量的数量积定义),cos(||||bababa性质22||aaaa；a⊥b的充要条件是0ba}{321,a,aaa,}{b321,b,bb,则112233abababab向量与向量的夹角bababa),cos(5一向量在另一向量上的投影ababParj，bbaaPbrj4.两向量的向量积,),sin(||||bababa且bcac,321321kjibbbaaabaa//b的充要条件是0ba几何意义),sin(||||||bababa,即等于以a,b为邻边的平行四边形面积。5.平面方程（1）点法式0)()()(000zzCyyBxxA（2）一般式0DCzByAx平面一般式方程0DCzByAx中的某些系数或常数项为零时,平面图形的特点0D时表示平面过原点CBA,,中有一个为0，表示与其对应的坐标轴平行。CBA,,中有两个为0，表示与其对应的坐标面平行。（3）两平面的位置关系121212120AABBCC1111122222//ABCDABCD1与2重合11112222ABCDABCD其它斜交（4）平面与平面的夹角6定义：两平面的夹角：两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角。设平面12,的法线向量分别为1111{,,}nABC和2222{,,}nABC，那么平面12,的夹角应是12,nn或12,nn。因此，|),cos(|cos2^1nn。按两向量夹角余弦的坐标表示式，平面12,的夹角可由下式来确定^12121212222222111222||cos|cos(,)|AABBCCABCABCnn两平面夹角余弦公式（5）点到平面的距离公式222000CBADCzByAxd6.空间直线（1）对称式（点向式）方程pzznyymxx000（2）参数式方程设000xxyyzztmnp，得方程组000xxmtyyntzzpt直线的参数方程（3）一般式方程0022221111DzCyBxADzCyBxA方向向量12111222ijksnnABCABC（4）直线与直线的夹角，位置关系两直线的位置关系：12121212121200LLssssmmnnpp；11n22n7111121212222//0mnpLLssssmnp。定义两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角。直线1L：111111xxyyzzmnp；直线2L：222222xxyyzzmnp，其方向向量依次为：11112222,,,,,smnpsmnp，那么L1和L2的夹角就是12,ss或12,ss两者中的锐角，因此12cos|cos,|ss。根据两向量的夹角的余弦公式，直线L1和L2的夹角可由1212121212222222111222||cos(,)coscos,mmnnppLLssmnpmnp来确定。（5）平面与直线的夹角，位置关系定义：当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角02称为直线与平面的夹角；当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为2。设直线000:xxyyzzLmnp，方向向量{,,}smnp，平面:0AxByCzD，法线向量为{,,}nABC，直线与平面的夹角为，那么|(,)|2sn，因此sin|cos(,)|sn。按两向量夹角余弦的坐标表示式，有222222||sinAmBnCpABCmnp直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：直线L与平面垂直//ABCsnmnp；直线L与平面平行0snAmBnCp；直线L在平面上0AmBnCp且至少直线L上一点满足80AxByCzD。（6）平面束设直线L:1111222200AxByCzDAxByCzD则通过直线L的所有平面1111122222()()0AxByCzDAxByCzD7.旋转曲面，柱面8.空间曲线在坐标面上的投影曲线第八章多元函数微分法及其应用1、二元函数),(yxfz定义域2、二元函数的极限Ayxfyyxx),(lim003、偏导数（1）定义00yyxxxz=00yyxxxf=00yyxxxz=),(00yxfx=xyxfyxxfx),(),(lim0000000yyxxyz=00yyxxyf=00yyxxyz=),(00yxfy=yyxfyyxfy),(),(lim00000xz将y看作常数对x求导数，yz将x看作常数对y求导数（2）高阶偏导数函数),(yxfz的二阶偏导数为),,(22yxfxzxzxxx),(22yxfyzyzyyy),,(2yxfyxzxzyxy),(2yxfxyzyzxyx94、全微分),(yxfz在点),(yx的全微分为dyyzdxxzdz．5、多元复合函数求导法则6、隐函数的求导①)(0),(xyyyxF确定的隐函数由方程满足隐函数定理的条件，则;yxFFdxdy②),(0),,(yxzzzyxF确定的隐函数由方程满足隐函数定理的条件，则;zxFFxz.zyFFyz7、偏导数在几何上的应用（1）空间曲线的切线和法平面1）设空间曲线的方程)()()(tztytx在0000),,,(ttzyxM对应于的切线与法平面方程。切向量为)(),(),(000tttT切线方程.)()()(000000tzztyytxx法平面方程0))(())(())((000000zztyytxxt2）空间曲线方程为,)()(xzxy（加上xx则变成上面的情形）,),,(000处在zyxM切线方程为,)()(100000xzzxyyxx法平面方程为.0))(())(()(00000zzxyyxxx（2）空间曲面的切平面和法法线处上点),,(0),,(:000zyxMzyxF的切平面与法线方程10法向量为),,({000zyxFnx),,(,000zyxFy)},,(,000zyxFz切平面方程0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程),,(0000zyxFxxx),,(0000zyxFyyy),,(0000zyxFzzz对于曲面zyxfzyxFyxfz),(),,(),,(可表示为8、多元函数的极值定理(必要条件)设函数),(yxfz在点),(00yx具有偏导数，且在点),(00yx处取得极值，则它在该点的偏导数必然为零，即0),(00y