算子理论

算子理论函数→算子ABT•对于一个集合来说，组成元素确定了，集合就完全确定了，但元素与元素并未确定任何关系，为了研究问题的实际需要，往往在各种集合中引入某些不同的确定的关系，赋予集合以某些空间结构，不同的空间结构的集合属于不同的空间。•算子：空间到空间的映射，它是函数概念的推广，而函数是数集到数集的映射•泛函：空间到数集的映射，它是一类特殊的算子，因为数集是一类特殊的度量空间。7/4/2020算子理论4距离7/4/2020算子理论5度量举例7/4/2020算子理论6度量举例7/4/2020算子理论7度量举例等距映射（isometricmapping)•如果度量空间与之间存在一个一一对应的映射，使得则称是到上的等距映射11(,)s22(,)s,(),()12xyfxfy,xysf11(,)s22(,)s等距同构（isometricisomorphism)•如果与之间有等距映射，则称这两个空间等距同构11(,)s22(,)s邻域（neighborhood)•设点是任意给的正数，集合以为中心，以为半径的开球（openball)，也称为点在中的邻域。0(,),sx00,)(,)xsxxxB(0x0x(,)s或邻域•注：“球”这个词来源于通常的三维空间在一般的度量空间中，“球”已无三维球的外形了，甚至可以只是单个点。例：集合C[a,b],若用Q表示在[a,b]上恒等于0的函数，则球B(0,1)是所有在[a,b]上严格介于以t轴为对称轴，宽度为2的矩形区域里的连续函数全体。3E•例：在离散度量空间中，球•••或者是包含点的单点集，或者是整个空间00{}01(,)(,)1Bsxx0(,)Bx0x内点（interiorpoint）外点（exteriorpoint)设A是的一个子集，若且存在开球,则称是A的一个内点。若且存在开球则称是A的一个外点。(,)sxA,)xAB(xCxA=S-A,)xAB(x边界点（boundarypoint）•若即非A的内点，也非A的外点，（即任一与A及的交集均非空），则称为A的一个边界点。内部（interior）intA=,A的内点全体称为A的内部外部（exterior):A的外点全体称为A的外部xs,)xB(CAxOA•开集（openset):设A是的一个子集，若A=intA,即对任一存在则称A是中的开集。•闭集（closedset):若S-A是(s,)中的开集，则称A为中的闭集。)(s,xA,)xAB((,)s(,)s•例：在中，开区间是开集，闭区间是闭集。而半开半闭区间[a,b)与(a,b]皆既非开集也非闭集。•例：若的集合s是有限集，令则有1E(,)s123{,,,}nsxxxx1,0min(,)ijijnxx(,)()1,2,iiBxxin•聚点（clusterpoint）设A是的一个子集，，如果的任一邻域都包含A-的一个点，即则称为A的聚点)(s,xsx{}x(,)({}),0BxAxx•闭包（closure）A与它的全体聚点所组成的并集称为A的闭包，记作A7/4/2020算子理论19稠密子集（densesubset）•疏子集（nondensesubset）若，则称A为的疏子集•孤立点（isolatedpoint）若不是A的聚点，则称为A的孤立点intA(,)sxAx完全集（Completeset）如果V是内积空间X的规范正交集，而且即当且仅当，则称V为的完全集。0VxV()xX0xX•极限点（limitpoint）设是中的一个点列，点，若对每一个，存在自然数N，使得,则称为的一个极限点，或者说收敛到点。收敛到点1nnx)(s,as0(,)nxBanNanx1nnxa1nnxlim(,)nnaax•子集的距离（distance)•点到子集A的距离12AA与12120inf{(,),}AxyxyA（A，）=A12,A其中A(,)({},)xAxA•直径（diameter）当dima(A)为有限数时，称A是有界集（boundset)0dsup{(,),}xyxyAiam(A)=其中A在点连续（coutinuousatapoint）设,是从X到Y的映射，点，如果对任一给定开球都存在另一开球，使得则称在点连续。0x0x1122(,),(,)XsYs:fXY0xx0((),)Bfx0(,)Bx00(,)()((),)xBxfxBfxf0x7/4/2020算子理论26柯西序列（Cauchysequence）度量空间•完备的度量空间（completemetricspace）若中的每一个柯西序列都收敛，则称为完备的度量空间(,)s(,)s•空间s:距离定义为：•空间c:距离定义为：1,1,2nnnSxxxcn11(,)21nnnnnnxyxyxy1limnnnnCxxx存在111n(,)sup,nnnnnnxyxyxxyy•空间•由收敛的一切数列组成1plp其中p1nnx1nnxxp11pnnnnnlxxcx11n(,){sup}ppnnxyxy•空间1supnnnnlxxsx1n(,){sup}pnnxyxy度量空间•如果在非空集合S上定义一个距离•则S和称为一个度量空间，记为或简记为S:ssR(,)s距离（distancefunction)距离的不同定义•定义：151(,)1nijinijixyxyxy61(,)0xyxyxy7/4/2020算子理论35紧性（compactness）7/4/2020算子理论36列紧性（Sequenticallycompactness）7/4/2020算子理论37相对列紧（relativesequenticallycompactness）7/4/2020算子理论38列紧空间（Sequenticallycompactspace）紧空间(compactspace)设A是的一个有限子集，如果则称A为X的一个性质：对于任一个列紧度量均有网()netx=(s,)(,)xAxs网0网•可分度量空间：包含一个可列稠密子集的度量空间称为可分度量空间。设X是赋范线性空间，若它的共轭空间X*是可分的，则X也是可分的•开覆盖（opencovering）设A是的一个子集，如果是的一族开集，使得则称为A在中的一个开覆盖x=(s,){}uGxAGux•有限覆盖（finitecovering）将包含有限个开集的开覆盖称为有限覆盖•子覆盖（subcovering）如果A在中的开覆盖的一个子族也是A在中的一个覆盖，则称为这个子族为的一个子覆盖。xuxu•紧空间（compactspace）•闭映射（closedmapping）若把中的闭集映射成中的闭集，则称是闭映射。•一致连续映射（uniformlycontinuousmapping）这里分别是的距离。fxyf''''''120,0(,)((),())xxfxfx''',xxx12xy和•一致有界（uniformboundness）设A是定义在区间[a,b]上的一个函数集合，如果有一个常数K0，使得则称A是一致有界。bsup()axfxKfA•同等连续（equicontinuous）如果对任给就有则称A为同等连续•压缩映射（contractionmapping）设如果对于映射有一个常数,使得则称是一个压缩映射。'''''',[,]xxxxab'''(()())fxfxx=(s,):fxX01KK((),())(,),fxfykxyxyXf•不动点（fixedpoint）若存在唯一的点，使得，称为的不动点。*xx**()fxx*xf范数（norm）范数•的实矩阵•Frobenius范数•P-范数其中表示矩阵的最大特征值nn()ijnnAa122,1()ijFijAa0maxppxnpxAxAx111maxnijinjAa12max2[()]TAAAmax()TAATAAmax()atbxxt半范数范数例题•例题：中[,]ab,()(),[,]baxyxtytdtxyab12,xxx导出范数（derivednorm）•设是内积空间X的内积则•确定X的一个范数，称为内积的导出范数,12,xxx,7/4/2020算子理论53希尔伯特（Hilbert）空间正交（orthogonal）正交补•正交补（orthogonalcomplement）集合称为V的正交补，其中V是X的子集，{}xXxV,,xXxyyV正交投影•正交投影（orthogonalprojection）设V是内积空间X的线性子空间，，如果有，使得，则称是在上的正交投影，记作xXyVzVxyzyxVVyPx•注：每个范数都是半范数，但半范数不一定是范数。•例如：，其中N是一个固定的自然数，，P是半范数，但不是范数()Npxx1{}nnxx凸集（ConvexSet）与导出凸集（derivedconvexset）赋范线性空间（normedlinearspace）7/4/2020算子理论60•定理•例空间按范数构成赋范线性空间构成赋范线性空间(1)pl11()ppnnxx1{}pnnxxl1supnnxx1{}pnnxxl由范数确定的距离在任何中的中，范数能够引出中的一个距离称为由范数确定的距离依范数收敛（convergeceinnorm）11pqllllpq其中x（，）x,),xyxyxyX（(,0)xxxX强收敛（strongconvergence）•设是中的一个点列，如果存在点，使得点列按范数确定的距离收敛于，即则称依范数收敛于或强收敛（strongconvergence）于1{}nnx(,)XxXxlim0nnxx1{}nnxxx7/4/2020算子理论65巴拿赫空间（Banach）级数（series）•中的每个点列的部分和构成一个点列称为的一个级数，记作(,)X1{}nnx121,2,nnsxxxn1{}nns(,)X1nnx收敛（convergence）•如果存在则称级数收敛1limlim0nninnissxs1nnx魏尔斯特拉斯•拓扑空间和度量空间有重要区别，在点连续：•设有拓扑空间映射，点，如果对于的任一邻域都存在的一个邻域使得则称在点连续。f0x11(,)Xs22(,)Ys:fxy0xX0()fx22B0x11B12()xBfxBf0x内积（innerproduct）投影定理设是内积空间的完备线性子空间，则对任何,存在唯一的,使得，而且即是中距最近的点注：一般巴拿赫空间中因为没有正交概念，所以投影定理并不成立。xXyY=vypxVminZxyxzyXVVx正交集（orthogonalset）设V是内积空间X的非空子集，如果V中任何两个向量都正交，则称V是X的一个正交集规范正交集（orthonormalset）如果正交集V中每个向量的范数均为1，则称V规范正交集格拉—施密特（Gram-schmidt)定理规范正交化方法：设V=是内积空间中的一个线性无关列，则按递推公式：得