《走向高考》2013(春季发行)高三数学(人教A版)总复习5-6章课件5-3平面向量的数量积

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·高考一轮总复习第五章平面向量走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学第五章平面向量第五章平面向量走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学第五章第三节平面向量的数量积第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学基础梳理导学思想方法技巧课堂巩固训练4考点典例讲练3课后强化作业5第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学基础梳理导学第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学重点难点引领方向重点：平面向量的数量积及其几何意义，数量积的性质及运算律，数量积的坐标表示．难点：数量积的性质和平面向量的长度、夹角问题．第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学夯实基础稳固根基一、向量数量积的定义1．向量a与b的夹角已知两个非零向量a、b，过O点作OA→＝a，OB→＝b，则θ＝∠AOB(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．当θ＝π2时，a与b垂直，记作a⊥b；当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学2．向量a与b的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，并规定零向量与任一向量的数量积为0.3．向量的投影如图，OA→＝a，OB→＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝叫做向量b在a方向上的投影．|a||b|cosθ|b|·cosθ第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学当θ为锐角时，如图(甲)，它是正值；当θ为钝角时，如图(乙)，它是负值；当θ为直角时，如图(丙)，它是0；当θ为0°时，它是|b|；当θ为180°时，它是－|b|.第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学4．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积．第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学二、平面向量数量积的性质1．a⊥b⇔a·b＝0.2．当a与b同向时，a·b＝；当a与b反向时，a·b＝；特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.3．cosθ＝a·b|a||b|.4．|a·b|≤|a|·|b|.|a||b|－|a||b|第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学三、向量数量积的运算律1．a·b＝b·a(交换律)．2．(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．3．(a＋b)·c＝a·c＋b·c.第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学四、平面向量数量积的坐标表示1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝.2．设a＝(x，y)，则|a|＝.3．若向量a的起点坐标和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|a|＝，4．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a、b都是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0⇔.x1x2＋y1y2x2＋y2x1－x22＋y1－y22x1x2＋y1y2＝0第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学疑难误区点拨警示1．若a·b＝0，a≠0不一定有b＝0，因为当a⊥b时，总有a·b＝0.2．对于实数a、b、c，当b≠0时，若ab＝bc，则a＝c.但对于向量a，b，c，当b≠0时，由a·b＝b·c却推不出a＝c.因为由a·b＝b·c得b·(a－c)＝0，只要a－c与b垂直即可．第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学3．数量积不满足结合律，即对于向量a、b、c，(a·b)·c＝a·(b·c)一般不成立，这是因为a·b与b·c都是实数．(a·b)·c与c共线，a·(b·c)与a共线，而c与a却未必共线．4．若a，b＝θ，则a在b方向上的投影为|a|·cosθ，b在a方向上的投影为|b|·cosθ，应注意区分．第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学力OF→在OS→方向上的分力OF→′＝|OF→|cosθ·OS→|OS→|，是与OS→共线的向量，不要和投影|OF→|cosθ相混淆．5．a·b0和a与b夹角为锐角不等价．∵当b＝a≠0时，夹角为0，a·b0；同样a·b0不等价于a与b的夹角为钝角．第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学思想方法技巧第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学1．平行与垂直问题常常转化为两个向量的平行与垂直．2．求向量模时，主要利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法．第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学考点典例讲练第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学[例1](2012·广西百所重点中学阶段性检测)已知△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，OB＝2，OC→＝OA→＋(1－λ)OB→，若λ21，则OC→·AB→的取值范围是()A．(－∞，0)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－∞，0)∪(5，＋∞)D．(－∞，－5)∪(0，＋∞)向量的数量积第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学分析：∵△OAB是斜边OB＝2的等腰直角三角形，∴OA＝AB＝1，故可建立直角坐标系，用向量的坐标运算求解．第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：如图，建立直角坐标系，由OB＝2，得A(1,0)，B(1,1)，第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学∴OA→＝(1,0)，OB→＝(1,1)，∴OC→＝(1,0)＋(1－λ)(1,1)＝(2－λ，1－λ)，∴OC→·AB→＝(2－λ，1－λ)·(0,1)＝1－λ，又λ21，得λ1或λ－1，∴1－λ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)，故OC→·AB→的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．答案：A第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学点评：(1)注意到△ABO是斜边OB＝2的等腰直角三角形，可设OA→＝a，AB→＝b，则有OB→＝a＋b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，于是OC→·AB→可用λ表示，不建坐标系也可获解．(2)以A为原点，AO，AB为坐标轴建系会更简便．第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(文)(2011·山东烟台一模)在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，则(AB→＋AC→)·AD→的值为________．第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：由题意可知，AD＝12BC＝222＝2，(AB→＋AC→)·AD→＝2AD→·AD→＝2|AD→|2＝4.答案：4第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(理)在菱形ABCD中，若AC＝2，则CA→·AB→等于()A．2B．－2C．2或－2D．与菱形的边长有关第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：AB→＋CA→＝CB→，设菱形边长为a，由|AB→|2＋2AB→·CA→＋|CA→|2＝|CB→|2得a2＋2AB→·CA→＋4＝a2.∴AB→·CA→＝－2.答案：B第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学[例2]设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC→2＝16，|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，则|AM→|＝()A．8B．4C．2D．1向量的模第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：由|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|两边平方得AB→2＋AC→2＋2AB→·AC→＝AB→2＋AC→2－2AB→·AC→，即AB→·AC→＝0，所以AB→⊥AC→，又由BC→2＝16得|BC→|＝4，所以|AM→|＝2.答案：C第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(文)设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为抛物线上三点．若FA→＋FB→＋FC→＝0，则|FA→|＋|FB→|＋|FC→|等于()A．9B．6C．4D．3第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F(1,0)，则由FA→＋FB→＋FC→＝0得x1－1＋x2－1＋x3－1＝0，即x1＋x2＋x3＝3.而|FA→|＋|FB→|＋|FC→|可转化为A、B、C三点到准线的距离，即|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＝d1＋d2＋d3＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝3＋3＝6.答案：B第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(理)已知在平面直角坐标系中，A(－2,0)、B(1,3)，O为原点，且OM→＝α·OA→＋β·OB→(α＋β＝1)，若N(1,0)，则|MN→|的最小值是()A.322B.122C.92D.32第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：由OM→＝α·OA→＋β·OB→(α＋β＝1)知M，A，B三点共线，可以求得AB所在直线方程为y＝x＋2，所以|MN→|的最小值就是点N到直线AB的距离d＝32＝322.答案：A第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学点评：将条件α＋β＝1转化为M、A、B共线，及将|MN→|转化为点N到直线AB的距离是解题的关键.第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学[例3](2011·太原模拟)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角；(2)求|a＋b|；(3)若AB→＝a，AC→＝b，求△ABC的面积．向量的夹角第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4a2－4a·b－3b2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6.∴cosθ＝a·b|a||b|＝－12.∴θ＝120°.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝13.第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(3)由(1)知∠BAC＝θ＝120°，|AB→|＝|a|＝4，|AC→|＝|b|＝3，∴S△ABC＝12|AC→||AB→|sin∠BAC＝12×3×4×sin120°＝33.第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学点评：(1)求两非零向量夹角的依据cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.平面向量夹角的取值范围是[0°，180°]．(2)求长度问题用向量的模求解．|a|2＝a·a，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝x1－x22＋y1－y22.第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(文)(2011·安徽“江南十校”联考)设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b夹角为()A.π3B.π2C.2π3D.3π4第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：∵(a＋b)2＝1，∴a·b＝－12，∴cos〈a，b〉＝－12，∵〈a，b〉∈(0，π)，∴〈a，b〉＝2π3，故选C.答案：C第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(理)(2011·北京海淀期中)已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为()A．60°B．90°C．120°D．150°第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：由已知得a·b＝|a|·|b|cos120°＝－|a|2.又c＝－(a＋b)，所以a·c＝－a·(a＋b)＝－|a|2－a·b＝0，故选B.答案：B第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学[例4]设a·b＝4，若a在b方向上的射影的数量为2，且b在a方向上的投影的数量为1，则a与b的夹角等于()A.π6B.π3C.2π3D.π3或2π3向量的投影第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：由条件知，a·b|b|＝2，a·b|a