3.1-分岔

第三章混沌第一部分分岔与奇怪吸引子一简单数学分岔引言分岔概念1切分岔2转换键型分岔3叉式分岔4霍夫型分岔弹性压杆的分岔引言分岔概念分岔是一种普遍的自然现象。力学上指一种力学状态在临界点发生的转变、分开或一分为二。如：一根受力的弹性压杆当压力超过压杆的临界负荷时，会出现弯曲。许多重要物理现象数学上可以某类微分方程来描述。数学上分岔研究非线性微分方程当某一参数变化时其解发生突变的临界点附近的行为。弹性压杆的分岔引言分岔概念在P—s平面上当PPc时，杆的唯一平衡状态是保持直线；当PPc时有三种平衡状态：保持直线(OC方向)、偏向+s或-s方向,不同平衡状态的分岔点为Pc。这时保持直线是不稳定的，稍有扰动平衡状态便会偏向+s或-s。两种偏向+s或-s状态是稳定的。2xdtdx0/dtdx0x1.切分岔数学模型方程：由得平衡点(a)当μ＜0时,解x0为虚数，因此不存在奇点，(b)当μ＞0时出现两个奇点,表明上述方程的解在x0=0处发生了分裂。0x1.切分岔数学模型μ＞0两个奇点的稳定性在解x0附近取一点，计算它与平衡点距离随时间变化。设距离：,随时间变化：0xx20)(xdtdxdtd02xdtd忽略高阶量解，当时，，解是稳定的，是稳定的结点。解，当时，，解是不稳定的，它是鞍点。切分岔是一个鞍–结分岔相流形状0xt00xt)2exp()(00txt02xdtd解的稳定性与相流1.切分岔解2转换键型分岔利用方程：解在分岔点(x0,μ)＝(0,0)处发生转折，故称转换键型分岔解的稳定性采用与分析切分岔稳定性同样的方法，知：μ＜0，平衡点x0=0是稳定的,平衡点x0=是不稳定的；μ＞0，平衡点x0=0是不稳定的，平衡点x0=是稳定的。0/dtdx000xx2dxxxdt数学模型平衡点由分岔图可见，μ＜0或μ＞0都是一对鞍–结点：μ＜0时，x0=0轴线是结点，x0=是不稳定的；μ＞0时，x0=0的轴线是不稳定的，x0=是稳定结点。由鞍点与稳定结点附近的相轨线流向，转换键型分岔的相流形状如下图。2转换键型分岔相流3叉式分岔利用方程：由得平衡点分岔图形象一把叉子，故称岔式分岔。解的稳定性：μ＜0时只有x0=0的平衡点，经分析方法可知它是稳定的。μ＞0有三个平衡点，x0=0是不稳定的，解是稳定的。数学模型0/dtdx000xx0x相流图形3xxdtdx杜芬方程具有叉式分岔由势能曲线知：a.在时仅有一个平衡点：b.在时存在三个平衡点：可见在参数k=0处发生了一次从单解转为三解的叉式分岔。c.在这三个平衡点中，，处在势能极小点，是稳定的；处在势能极大点，是不稳定的平衡点。3叉式分岔0322xxdtxdk0k0x0kkx0xkx0x杜芬方程的叉式分岔4霍夫型分岔dxdtyxxydydtxyxy[()][()]2222数学模型引入极坐标xy22dxdtddtdydtddtcossincoscos求导代入原方程令正弦余弦系数相等sincosyx1)(2dtddtd4.霍夫型分岔分岔分析020)1/(0)2/(1ttCeCtt2()1ddtddtC，t0为积分常数。1.≤0，距离随时间而缩短，当时间t时0。这表明轴线上各点是稳定的焦点。2.＞0，值随时间增长，不论初始的大小如何，当t时都有1/2，形成闭合圈即极限环。4.霍夫型分岔分岔分析21/(2)0/(1)0ttCCe参数μ从负变到正，从焦点产生出极限环,这种分岔称霍夫分岔。分岔点位于μ=0。4.霍夫型分岔极限环Hopf分岔有超临界和亚临界的区别二平方映射与倍周期分岔1.平方映射2.平方映射的不动点及其稳定性3.平方映射的周期解物理学上一个动力学系统可以用连续变量表示，也可以用离散数表示。一个以x为连续变量的单参数的动力学系统：这里为系统参数。设系统状态作等间隔t，t+1，t+2，t+3，…变化，则时间演化方程改写为：当时间间隔不取整数，各时刻写成相应的状态为：时间演化方程变成离散方程：数学上称为映射的方程。yfx(,)xtfxt()(,())1)(nntxx),(1nnxfx映射方程1．平方映射nxxx,,21tnttttttttn00201,,2,映射方程计算1．平方映射对一个映射的计算采用的是迭代方法。即给定一个初值将其代入映射计算得，将代入映射计算得，由可算得，如此一直计算得。),(1nnxfx0x1x1x2x3xnx2x例如：一个简单映射1次迭代：2次迭代：n次迭代：于是有：nnAxx100)(xAAxAAxnn01Axx02012)(xAAxAAxxnxxxx,,,321映射与微分方程对应关系nnAxx1迭代计算0xAxnnAxdtdx解方程Atexx01．平方映射动力学系统用连续变量表示为微分方程，离散数表示时为映射(map)，两者对应关系为：平方映射导出—生态平衡方程•1838年，生物学家伏埃胡斯脱（Verhulst）在研究生物种群演化时提出一种设想：一个世代交替的生物种群是在一个受制约的环境中生息繁衍的。第n代数量:第n+1代数量:A如不考虑生存环境对种群生存的影响，第n代与第n+1代有如下关系：当R1，种群数量将线性地无限制增长。1．平方映射nN1nNnnRNN1平方映射导出—生态平衡方程B种群受环境制约，数量有最大限额，种群繁殖空间，第n代与第n+1代关系1．平方映射0NnNN010()nnnNKNNN)1(01NNNNnnn0KN)1(1nnnxxx0/NNxnn平方映射计算21)1(nnnnnxxxxx方程展开xn+1值与xn值是平方关系，称平方映射，文献中称洛吉斯蒂映射(logisticmap),该式是抛物线表示式，也称抛物映射。由于亲、子两代种群数约化值均在0~1间，因此参数μ取值在[0，4]内。1.平方映射可用迭代方法计算上述离散映射，即给定参数μ值与初始值x0，就有：该迭代过程还可以采用图解的方法来表示．0100211(1)(1)xxxxxxx作图计算准备:1.建立坐标系2.作条抛物线：3.作对角线，称恒等线通过它做投影。1.平方映射nnxx1nnxx~1平方映射在平面上是一条抛物线，抛物线高度由值决定。nnxx~1)1(1nnnxxx)1(1nnnxxx作图计算1.平方映射平方映射在平面上是一条抛物线，抛物线高度由值决定。nnxx~1)1(1nnnxxx一、从横坐标x0处作竖直线与抛物线相交，这点的纵坐标高度即为x1;二、从此点作水平线与对角线相交，此交点横坐标即为x1；三、再由此点作竖直线，得到与抛物线相交时的高度x2，再将x2移植到对角线上，找到横坐标x2。从这里作竖直线与抛物线相交得x3，如此反复······作图计算1.平方映射平方映射在平面上是一条抛物线，抛物线高度由值决定。nnxx~1)1(1nnnxxx平方映射的不动点通过作图或数值计算表明，当参数μ取某些值时，计算可以得到一个不变的终值，它被称为映射的不动点。一个映射的不动点就是xi与xi+1相同时的数值，它不再因继续迭代而发生变化。对平方映射，不动点为：解此方程得：即有两个不动点。xxxiii()10ix/)1(ix2.平方映射的不动点平方映射的两个不动点2.平方映射的不动点实际上，两个不动点就是抛物线与迭代线的两个交点A与B。抛物线的高度与μ值有关，最大高度在m=1/2处且等于μ/4。如果参数μ较小(m1)，抛物线高度较低，它与迭代线只有一个交点，即原点A。在这种情况下，不管初值如何迭代最终趋于原点，原点是唯一的不动点。1时走向不动点A当参数1时，抛物线高度较低，与迭代线只有一个交点A。这时不管初值如何，迭代最终趋于原点，原点是唯一的不动点。图b是随迭代次数n的变化曲线，这是最终衰变到零的指数衰变曲线。在生态上，虽然初始有一定的种群数量，但受到环境的制约最终走向了灭绝。2.平方映射的不动点μ=1~3时走向不动点B当μ1时平方映射会出现第二个不动点。下图值为2.0与1.8时的迭代，可以看到虽然起始值很小，但每次迭代值增加，这是一个指数增长并最终稳定的过程。终值与起始值无关。2.平方映射的不动点μ2.3时振荡走向不动点B当值增大到μ2.3时，迭代结果开始出现振荡起伏，然后逐步稳定在某个数值。例如，当=2.8时，迭代值经过多次衰减振荡后逐步稳定。μ2.3时通过振荡走向不动点B2.平方映射的不动点不动点的稳定性非线性动力学核心问题之一就是研究系统的稳定性问题。上述计算可见，当μ3时迭代走向不动点，当μ3迭代值出现持续振荡，说明迭代在μ=3附近发生了变化，稳定不动点变得不稳定了。如一维映射具有不动点，即有解设en为对不动点的偏离量，需继续迭代，有：对右边在x*附近展开：2.平方映射的不动点),(n1+nxfxxfx(,)),(n1+neexfxn*x=x1+n),(),(eexxfxfx不动点的稳定性略去高阶小项，并利用不动点方程则得：对于稳定的不动点，应有：，即对于不稳定的不动点,应有:，即2.平方映射的不动点*n+1n(,)(,)xxfxxfxxeemfxxeen+1nx=x*(,)een+1n1mn1+neem1不动点的稳定性een+1n1m1m01m10m0mx对于稳定的不动点，应有,即：映射在不动点处斜率为45°迭代单调的趋近于x迭代经过几次起伏趋近于超稳定不动点，最有利的稳定情况，迭代图上对应于2/11nnxx2.平方映射的不动点不动点的稳定性een+1n1mx对于稳定的不动点，应有,即：x2.平方映射的不动点二周期解当参数从μ=2.8继续增大时，迭代出现的振荡将维持下去，这种情况称为周期解。图为μ=3.2时迭代情况，取x0=0.04，在迭代进行几次后，其终值在一大一小的两个定值之间跳跃，并与起始值无关，称为周期2轨道运动。3.平方映射的周期解μ=3.2时xn+1在一大一小两个值间跳跃四周期解μ值进一步增大时迭代会出现的振荡起伏。μ值增大到3.5以上，迭代的终值起伏每隔四次出现重复，称为周期4轨道运动。图为μ=3.52时的xn+1～n曲线，仍取x0=0.2为起始值。μ=3.52时，xn+1出现4周期循环。3.平方映射的周期解倍周期解序列计算表明，随的增加，稳定的周期轨道还在增加，于是可得如下倍周期分岔序列。1.003.00周期1轨道(不动点)3.003.4495周期2轨道3.44953.5541周期4轨道3.55413.5644周期8轨道3.56443.5688周期16轨道3.平方映射的周期解倍周期解序列通常在确定的μ值下，迭代会进入一个周期p的重复循环，即在次数i≥n后迭代有：xn，xn+1，…，xn+p-1xn+p，xn+p+1，…，xn+2p-1重复相同的值，称为周期p轨道。如P=1，称周期1轨道，为不动点；p=2为周期2轨道，p=4为周期4轨道。迭代也会进入轨道点xi永不重复情况，即无周期状态。但若每迭代一定次数，轨道点虽没有准确回到某个初始点xk，但与该点非常接近，则这种情况称为准周期轨道。它可看作无限长周期轨道。3.平方映射的周期解编程序,对逻辑斯蒂映射绘制以参数μ为横坐标、状态为纵坐标的分岔图.1.23第二次作业4分