3.1.1 导数与函数的单调性

观察图象上升的时候,每一点的切线的斜率的大小;图象下降的时候,每一点的切线的斜率的大小,你发现了什么规律?yx0abc()yfx函数的单调性:从a到b图象是上升的,说函数()fx在区间(,)ab上是增函数;从b到c图象是下降的,说函数()fx在区间(,)bc上是减函数.导数0()()()limxfxxfxfxx的几何意义是:函数()yfx的图象在点(,())xfx处的切线的斜率.(如图)()0fx()0fx函数的单调性与导数yx0abc()yfx由图知,当()0fx时,曲线上升;一般地,函数的单调性与导数的正负有如下关系:在某个区间(,)ab内,如果()0fx,那么函数()yfx在这个区间内单调递增；如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递减．注:如果在(,)ab内恒有()0fx,那么函数()fx是常数函数.()0fx()0fx当()0fx时,曲线下降,fx'()0fxab()(,)在内单调递增fx'()0fxab()(,)在内单调递减若某个区间内恒有f'(x)＝0，则f(x)为常数函数．1.'()0fx注意：是f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件2.正确理解“某个区间”的含义，它必是定义域内的某个区间一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,2yx0函数的单调性与导数的关系:观察函数2()43fxxx的图象:函数在区间(,2)内()0fx,在区间(,2)上单调递减;函数在区间(2,)内()0fx,在区间(2,)上单调递增;当2x时,()0fx(切线斜率等于0).()24fxx所以,导数的正、负信息反映了函数的增减情况.例1、已知导函数的下列信息：'()fx当1x4时，0;当x4,或x1时，0;当x=4,或x=1时，=0.则函数f(x)图象的大致形状是(）。'()fx'()fx'()fx()yfxxyo14xyo14xyo14xyo14ABCD()yfx()yfx()yfxDxyO12..23..1232思考:试判断函数324()433fxxxx的单调性,求出单调区间,并画出函数()fx图象的大致形状.∴函数()fx的增区间为13(,)(,)22、,减区间为13(,)22.令()0fx即(21)(23)0xx,解得3122xx或;解:∵2()483fxxx(21)(23)xx分析:本题用定义分析单调性很困难,可以利用导数的正、负情况易得单调性,再根据单调情况可画出函数的草图.∵3()02f,12()23f∴函数()fx的图象大致形状如图所示.令()0fx即(21)(23)0xx，解得1322x.方法小结:运用导数判断函数的单调性的方法步骤:首先,确定函数()fx的定义域.然后,求出函数的导数()fx.最后,解不等式()0fx,解得函数的增区间.解不等式()0fx,解得函数的减区间.练习.求下列函数的单调区间:(1)()lnfxxx2(2)()xefxx(0,1),(1,+)增区间减区间(0,2),(,0)(2,+)减区间增区间、提示:用函数的单调性证不等式.A322(),,,30()()()()()fxxaxbxcabcabfxRABCD函数其中为常数，当时，在上()增函数减函数常数既不是增函数也不是减函数1.2.已知0x，求证：ln(1)xx提示:用函数的单调性证不等式.