2014届高考物理二轮复习热点专题课 八法求解直线运动问题

在处理直线运动的某些问题时，如果用常规解法，解答繁琐且易出错，如果从另外的角度巧妙入手，反而能使问题的解答快速、简捷，下面便介绍几种处理直线运动问题的方法和技巧。一、假设法假设法是一种科学的思维方法，这种方法的要领是以客观事实(如题设的物理现象及其变化)为基础，对物理条件、物理状态或物理过程等进行合理的假设，然后根据物理概念和规律进行分析、推理和计算，从而使问题迎刃而解。[典例1]一个以初速度v0沿直线运动的物体，t秒末的速度为v，其v－t图象如图1－1所示，则关于t秒内物体运动的平均速度v，以下说法正确的是()A.v＝v0＋v2B.vv0＋v2C.vv0＋v2D．无法确定图1－1[答案]C[解析]本题我们可以假设物体做初速度为v0，末速度为v的匀变速直线运动，则其v－t图象如图1－2中的倾斜虚线所示。由匀变速直线运动的规律知物体在时间t内的平均速度等于这段时间内的初速度v0与末速度v的算术平均值，即平均速度等于v0＋v2，而物体在t秒内的实际位移比匀变速直线运动在t秒内的位移大，所以vv0＋v2，故选项C正确。图1－2二、逐差法在匀变速直线运动中，第M个T时间内的位移和第N个T时间内的位移之差xM－xN＝(M－N)aT2。对纸带问题用此方法尤为快捷。[典例2]一个做匀加速直线运动的质点，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别为24m和64m，每一个时间间隔为4s，求质点的初速度v0和加速度a。[解析]题目中出现了连续相等的时间间隔，应优先考虑用公式Δx＝aT2求解。根据题意有Δx＝64m－24m＝40m，T＝4s由此可得质点的加速度为a＝ΔxT2＝4042m/s2＝2.5m/s2把前一段时间间隔内的x＝24m，T＝4s及a＝2.5m/s2代入x＝v0T＋12aT2解得v0＝1m/s。[答案]1m/s2.5m/s2在匀变速直线运动中，物体在时间t内的平均速度等于物体在这段时间内的初速度v0与末速度v的算术平均值，也等于物体在t时间内中间时刻的瞬时速度，即v＝xt＝v0＋v2＝vt2。如果将这两个推论加以利用，可以使某些问题的求解更为简捷。[典例3]一个小球从斜面顶端无初速度下滑，接着又在水平面上做匀减速运动，直至停止，它共运动了10s，斜面长4m，在水平面上运动的距离为6m。求：(1)小球在运动过程中的最大速度；(2)小球在斜面和水平面上运动的加速度大小三、平均速度法[解析]小球在斜面上做匀加速直线运动，在斜面底端速度最大，设最大速度为vmax，在斜面上运动的时间为t1，在水平面上运动的时间为t2。则由vmax2t1＋vmax2t2＝10，t1＋t2＝10，得vmax＝2m/s由公式2ax＝vmax2，代入数据得a1＝12m/s2，a2＝13m/s2。[答案](1)2m/s(2)12m/s213m/s2四、相对运动法以系统中的一个物体为参考系研究另一个物体运动情况的方法。[典例4]物体A、B从同一地点，同时沿同一方向运动，A以10m/s的速度做匀速直线运动，B以2m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，求A、B相遇前两物体间的最大距离。[解析]因为本题求解的是A、B间的相对距离，所以可以利用相对运动法求解。选B为参考系，从计时开始到A、B相遇前两物体间出现最大距离的过程中，A相对于B的初速度、末速度和加速度分别为：v0＝10m/s，v＝0，a＝－2m/s2根据v2－v02＝2aΔxmax有Δxmax＝v2－v022a，解得Δxmax＝25m。[答案]25m五、比例法对于初速度为零的匀加速直线运动需要牢记几个推论，这几个推论都是比例关系，在处理初速度为零的匀加速直线运动时，首先考虑用比例关系求解，可以省去很多繁琐的推导或运算，简化运算。注意，这几个推论也适应与刹车类似的减速到零的匀减速直线运动。[典例5]一列火车由静止开始做匀加速直线运动，一个人站在第1节车厢前端旁的站台前观察，第1节车厢通过他历时2s，全部车厢通过他历时8s，忽略车厢之间的距离，车厢长度相等，则第9节车厢通过他所用时间为________，这列火车共有________节车厢。[解析]根据初速度为零的匀变速直线运动的推论有：t1∶t9＝1∶(9－8)可得第9节车厢通过观察者所用时间为t9＝(9－8)t1＝2(3－22)s根据x＝12at2可知第1节、前2节、前3节、…、前N节车厢通过观察者所用时间之比为：t1∶t2∶t3∶…∶tN＝1∶2∶3∶…∶N。则有t1∶tN＝1∶N解得火车车厢总数为N＝(tNt1)2＝(82)2＝16[答案]2(3－22)s16六、逆向思维法逆向思维是解答物理问题的一种科学思维方法，对于某些问题，运用常规的思维方法会十分繁琐甚至解答不出，而采用逆向思维，即把运动过程的“末态”当成“初态”，反向研究问题，可使物理情景更简单，物理公式也得以简化，从而使问题易于解决，能收到事半功倍的效果。解决末速度为零的匀减速直线运动问题，可采用该法，即把它看做是初速度为零的匀加速直线运动。这样，v0＝0的匀加速直线运动的位移公式、速度公式、连续相等时间内的位移比公式、连续相等位移内的时间比公式，都可以用于解决此类问题了，而且是十分简捷的。[典例6]一物体以某一初速度在粗糙水平面上做匀减速直线运动，最后停下来，若此物体在最初5s内和最后5s内经过的路程之比为11∶5。则此物体一共运动了多长时间？[解析]若依据匀变速直线运动规律列式，将会出现总时间t比前后两个5s的和10s是大还是小的问题：若t10s，可将时间分为前5s和后5s与中间的时间t2，经复杂运算得t2＝－2s，再得出t＝8s的结论。若用逆向的初速度为零的匀加速直线运动处理，将会简便得多。将物体运动视为反向的初速度为零的匀加速直线运动，则最后5s内通过的路程为x2＝12a×52＝12.5a最初5s内通过的路程为x1＝12at2－12a(t－5)2＝12a(10t－25)由题中已知的条件：x1∶x2＝11∶5得：(10t－25)∶25＝11∶5解得物体运动的总时间t＝8s。[答案]8s七、极值法有些问题用一般的分析方法求解难度较大，甚至中学阶段暂时无法求出，我们可以把研究过程推向极端情况来加以分析，往往能很快得出结论。[典例7]两个光滑斜面，高度和斜面的总长度都相等，如图1－3所示，两个相同的小球，同时由两个斜面顶端由静止开始释放，不计拐角处能量损失，则两球谁先到达底端？图1－3[解析]甲斜面上的小球滑到斜面底端的时间很容易求出。设斜面高度为h，长度为L，斜面的倾角为θ。则由L＝12gt12sinθ，sinθ＝hL，解得t1＝2L2gh。乙斜面上的小球滑到斜面底端的时间很难直接计算。可将乙斜面作极端处理：先让小球竖直向下运动，然后再水平运动，易解得这种运动过程中小球运动的时间为t2＝2hg＋L－h2gh＝L＋h2ght1，所以，乙斜面上的小球先到达斜面底端。[答案]乙斜面上的小球八、图象法图象法是物理研究中常用的一种重要方法，可直观地反映物理规律，分析物理问题，运动学中常用的图象为v－t图象。在理解图象物理意义的基础上，用图象法分析解决有关问题(如往返运动、定性分析等)会显示出独特的优越性，解题既直观又方便。需要注意的是在v－t图象中，图线和时间坐标轴围成的“面积”应该理解成物体在该段时间内发生的位移。[典例8]汽车从甲地由静止出发，沿平直公路驶向乙地。汽车先以加速度a1做匀加速直线运动，然后做匀速运动，最后以大小为a2的加速度做匀减速直线运动，到乙地恰好停止。已知甲、乙两地的距离为x，求汽车从甲地到乙地的最短时间t和运行过程中的最大速度vm。[解析]由题意作出汽车做匀速运动时间长短不同的v－t图象，如图1－4所示。不同的图线与横轴所围成的“面积”都等于甲、乙两地的距离x。由图象可知汽车做匀速运动的时间越长，从甲地到乙地所用的时间就越长，所以当汽车先做匀加速直线运动，后做匀减速直线运动，中间无匀速运动时，行驶的时间最短。设汽车做匀加速直线运动的时间为t1，则匀减速直线运动的时间为(t－t1)。则有vm＝a1t1＝a2(t－t1)解得t1＝a2ta1＋a2，则vm＝a1a2ta1＋a2由图象中三角形面积的物理意义有x＝12vmt＝a1a2t22a1＋a2解得t＝2xa1＋a2a1a2，故vm＝2xa1a2a1＋a2。图1－4[答案]2xa1＋a2a1a22xa1a2a1＋a2[专题练习]1．一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动。开始刹车后的第1s内和第2s内位移大小依次为9m和7m。则刹车后6s内的位移是()A．20mB．24mC．25mD．75m解析：由Δx＝aT2得a＝ΔxT2＝7－91m/s2＝－2m/s2，由v＝vt2知v0.5＝9m1s＝9m/s。由运动学公式v＝v0＋at得v0＝v－at＝9m/s－(－2)×0.5m/s＝10m/s，故该汽车经5s时间停止，6s内发生的位移x＝v02t＝5×5m＝25m，选项C正确。答案：C2．静止在光滑水平面上的木块，被一颗子弹沿水平方向击穿，若子弹击穿木块的过程中子弹受到木块的阻力大小恒定，则当子弹入射速度增大时，下列说法正确的是()A．木块获得的速度变大B．木块获得的速度变小C．子弹穿过木块的时间变长D．子弹穿过木块的时间变短解析：子弹穿透木块过程中，子弹做匀减速运动，木块做匀加速运动，画出如图所示的v－t图象，图中实线OA、v0B分别表示木块、子弹的速度图象，而图中梯形OABv0的面积为子弹相对木块的位移，即木块长度L。当子弹入射速度增大变为v0′时，子弹、木块的运动图象便如图中虚线v0′B′、OA′所示，梯形OA′B′v0′的面积仍等于子弹相对木块的位移L，由图线可知，子弹入射速度越大，木块获得的速度越小，作用时间越短，B、D正确。答案：BD3．一辆汽车在笔直的公路上做匀变速直线运动，该公路旁每隔15m安置一个路标。汽车经过A、B两相邻路标用时2s，通过B、C两相邻路标用时3s，求汽车通过A、B、C三个路标时的速度。解析：汽车做匀变速直线运动，AB段的平均速度v1等于从A点起1s末的瞬时速度，BC段的平均速度v2等于从A点起3.5s末的瞬时速度由v＝xt＝vt2得v1＝xABt1＝7.5m/s，v2＝xBCt2＝5m/s由v2＝v1＋at可得：a＝v2－v1t＝5－7.53.5－1m/s2＝－1m/s2由匀变速直线运动的速度公式v＝v0＋at可求得vA＝8.5m/s，vB＝6.5m/s，vC＝3.5m/s。答案：8.5m/s6.5m/s3.5m/s4.物体以一定的初速度冲上固定的光滑的斜面，到达斜面最高点C时速度恰为零，如图1－5所示。已知物体第一次运动到斜面长度3/4处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间。图1－5解析：法一：逆向思维法物体向上匀减速冲上斜面，相当于向下匀加速滑下斜面。故xBC＝12atBC2，xAC＝12a(t＋tBC)2又xBC＝14xAC，解得：tBC＝t法二：比例法对于初速度为零的匀变速直线运动，在连续相等的时间里通过的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)现有xBC∶xBA＝xAC4∶3xAC4＝1∶3通过xAB的时间为t，故通过xBC的时间tBC＝t。法三：平均速度法利用教材中的推论：中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度。vAC＝v＋v02＝v0＋02＝v02又v02＝2axAC①vB2＝2axBC②xBC＝14xAC③解①②③得：vB＝v02。可以看出vB正好等于AC段的平均速度，因此B点是中间时刻的位置。因此有tBC＝t。法四：图象面积法利用相似三角形面积之比，等于对应边平方比的方法，作出v－t图象，如图甲所示。S△AOCS△BDC＝CO2CD2且S△AOC＝4S△BDC，OD＝t，OC＝t＋tBC。所以41＝t＋tBC2tBC2，得tBC＝t。法五：利用有关推论对于初速度为0的匀加速直线运动，通过连续相等的各段位移所用的时间之比t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(2－1)∶(3－2)∶(4－3)∶…∶(n－n－1)