描述函数法

12第七章非线性系统内容提要7.1典型非线性特性7.2描述函数法7.3相平面法学习指导与小结3※7.1典型非线性特性前面各章研究的都是线性系统，或者虽然是非线性系统，仍可进行线性化处理，从而可视为线性系统。事实上，几乎所有的实际控制系统，都不可避免地带有某种程度的非线性、系统中只要具有一个非线性环节，就称为非线性系统。因此实际的控制系统大都是非线性系统。本章将主要讨论关于非线性系统的基本概念，以及两种基本分析方法：描述函数法和相平面法。47.1典型非线性特性在控制系统中，若控制装置或元件其输入输出间的静特性曲线，不是一条直线，则称为非线性特性。如果这些非线性特性不能采用线性化的方法来处理，称这类非线性为本质非线性。为简化对问题的分析，通常将这些本质非线性特性用简单的折线来代替，称为典型非线性特性。7.1.1典型非线性特性的种类1．饱和特性yxka-a0M-M饱和特性在控制系统中是普遍存在的，常见的调节器就具有饱和特性。52．死区特性死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但其输出为零。yxka-a00,||(),(),xaykxaxakxaxa3.滞环特性滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是在输入—输出曲线上出现闭合环路。又称为间隙特性。64继电器特性()00kxasignxyybsignxyyx0b-ba-ayx0maa-a-mab-b0,00,0||,0,0maxaxaxmaxybsignxxabxmaxbxmax7实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性。yxa-a0-bbyx0b-b(1)若a＝0，称这种特性为理想继电器特性所示。(2)若m=1，称为死区继电器特性。(3)若m=-1，滞环继电器特性。yxa-a0-bb8由于上述非线性特性的存在，与线性系统相比，非线性系统具有如下特点：（1）稳定性的复杂性。（2）可能存在自激振荡现象。（3）频率响应。7.1.2非线性系统的若干特征)1(2xxxxx设t=0，系统的初始状态为x0dtxxdx)1(ttexxextx0001)(10x(t)tx01x01lnx0x019相应的时间响应随初始条件而变。当x01，tlnx0/(x01)时，随t增大，x(t)递增；t=lnx0/(x01)时，x(t)为无穷大。当x01时，x(t)递减并趋于0。由上例可见，初始条件不同，自由运动的稳定性亦不同。因此非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与系统的初始条件有直接的关系。10x(t)tx01x01lnx0x0110所谓自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定运动，简称自振。考虑著名的范德波尔方程00)1(22xxxx该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。当扰动使x1时，因为(1x2)0，系统具有负阻尼，此时系统从外部获得能量，x(t)的运动呈发散形式；当x1时，因为(1x2)0，系统具有正阻尼，此时系统消耗能量，x(t)的运动呈收敛形式；而当x=1时，系统为零阻尼，系统运动呈等幅振荡形式。上述分析表明，系统能克服扰动对x的影响，保持幅值为1的等幅振荡。11非线性系统对于正弦输入信号的响应则比较复杂，会产生一些比较奇特的现象。例如跳跃谐振和多值响应、波形畸变、倍频振荡和分频振荡等。考虑有名的杜芬方程tpxkxkxfxmcos331x162345127.1.3非线性系统的分析方法到目前为止，非线性系统的研究还缺乏成熟，结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程上常用的方法有以下几种：（1）小偏差线性化（非本质非线性）（2）描述函数法（本质非线性）这是一种频域分析方法，其实质是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化，然后用频率法的结论来研究非线性系统。它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广，这种方法不受系统阶次的限制。（3）相平面法（本质非线性）相平面法是求解一、二阶常微分方程的图解法。通过在相平面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下的解。这是一种时域分析法，但仅适用于一阶和二阶系统。（4）计算机求解法用模拟计算机或数字计算机直接求解非线性微分方程，对于分析和设计复杂的非线性系统是非常有效的方法。13※7.2描述函数7.2.1描述函数的定义1.描述函数的应用条件（1）非线性系统的结构图可简化成一个非线性环节N和一个线性部分G(s)串联的闭环结构。xyNG(s)r(t)=0c(t)（2）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的。（3）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。142.描述函数的定义设系统的非线性环节输入信号是正弦信号x(t)=Asint则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏级数01()(cossin)nnnytAAntBnt非线性环节奇对称，则有A0=020201()cos1()sinnnAytntdtBytntdt15由于在傅氏级数中n越大，谐波分量的频率越高，An,Bn越小。此时若系统又满足第三个条件，则高次谐波分量又进一步被充分衰减，故可认为非线性环节的稳态输出只含基波分量，即1111121021022111111()()cossinsin()1()cos1()sinYABarctanytytAtBtYtAyttdtByttdtAB式中16类似于线性系统中频率特性的定义，我们把非线性元件稳态输出的基波分量与输入正弦信号的复数比定义为非线性环节的描述函数，用N(A)来表示。12211111AB()arctanjYANAeAAB由非线性环节描述函数的定义可以看出：(1)描述函数类似于线性系统中的频率特性，利用描述函数的概念便可以把一个非线性元件近似地看作一个线性元件，因此又叫做谐波线性化。(2)描述函数表达了非线性元件对基波正弦量的传递能力。177.2.2描述函数的求法（1）首先由非线性静特性曲线，画出正弦信号输入下的输出波形，并写出输出波形y(t)的数学表达式。（2）利用傅氏级数求出y(t)的基波分量。（3）将求得的基波分量代入定义式，即得N(A)。下面计算几种典型非线性特性的描述函数。1.理想继电器特性yx0M18yx0M0xt2y0tM2由于输出周期方波信号是奇函数，则傅氏级数中的直流分量与基波余弦分量的系数为零A0=A1=0，而基波正弦分量的系数B1为19所以基波分量为14()sinMytt故理想继电器特性的描述函数为即N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数.114()YMNAAA2100012()sin()sin24sin()ByttdtyttdtMMtdt202.饱和特性0xt2y0tM2由于输出周期信号是奇函数，则傅氏级数中的直流分量与基波余弦分量的系数为零A0=A1=0，而基波正弦分量的系数B1为yx0Mka1Aa121式中ψ1=arctan(a/A)。可得饱和特性的描述函数为12102021()sin4sin()2arcsin1()ByttdtkAtdtkAaaaAAA212()arcsin1()BkaaaNAAAAA由上式可见，饱和特性的N(A)也是输入正弦信号幅值A的函数。这说明饱和特性等效于一个变系数的比例环节，当Aa时，比例系数总小于k。22以上介绍了描述函数的基本求法，对于复杂的非线性特性，完全可以利用这种力法求出其描述函数，但计算也复杂得多。此时也可以将复杂的非线件特性分解为若干个简单非线性特性的组合，即串并联，再由已知的这些简单非线性特性的描述函数求出复杂非线件特件的描述函数。7.2.3组合非线性特性的描述1．非线性特性的并联计算设有两个非线性环节并联，且其非线性特性都是单值函数，即它们的描述函数都是实数。23x(t)y1(t)y11(t)N1y12(t)N2y1(t)=y11(t)+y12(t)=N1Asint+N2Asint=(N1+N2)AsintN=(N1+N2)总的描述函数若干个非线性环节并联后的总的描述函数，等于各非线性环节描述函数之和。当N1和N2是复数时，该结论仍成立。24△0M△0kxy++xk0M△y例7-1一个具有死区的非线性环节，求描述函数N(A)。25解：该死区非线性特性可分解为一个死区继电器特性和一个典型死区特性的并联，描述函数为221242()1()arctan1()2242sin1()MkNAAAAAAkMkkAAAA其中2．非线性特性的串联计算必须首先求出这两个非线性环节串联后等效的非线性特性，然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。x(t)N1y(t)N2z(t)26120xy例7-2求图所示两个非线性特性串联后总的描述函数N(A)。k1=1120xz120zyk2=2k=22721112222222()arctan1()22arctan1()24212211arcsinarcsin1()1()kNAAAAkAAAAAAAAA其中A1等效为一个死区加饱和的非线性特性，分解为两个具有完全相同的线性区斜率k=2和不同死区宽度1=1及2=2的死区特性的并联相减。28前面介绍了描述函数的定义及其求法。通过描述函数，一个非线性环节就可看作一个线性环节，而非线性系统就近似成了线性系统，于是就可进一步应用线性系统的频率法进行分析.7.2.4用描述函数法分析非线性系统这种利用描述函数对非线性系统进行分析的方法称为描述函数法，这种方法只能用于分析系统的稳定性和自振荡。1.非线性系统的稳定性分析假设非线性元件和系统满足上节所要求的描述函数法的应用条件，则非线性环节可以用描述函数N(A)来表示，而线性部分可用传递函G(s)或频率特性G(jω)表示。29x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t))()(1)()()()()(jGANjGANjRjCj0)()(1jGAN)(1)(ANjG而闭环系统的特征方程为或式中1/N(A)叫做非线性特性的负倒描述函数(负倒特性曲线)。由结构图可以得到线性化后的闭环系统的频率特性为30对比在线性系统分析中应用奈氏判据，当满足G(j)=1时，系统是临界稳定的，即系统是等幅振荡状态。显然，1/N(A)相当于线性系统中的(1,j0)点。区别在于，线性系统的临界状态是(1,j0)。而非线性系统的临界状态是1/N(A)曲线。综上所述，利用奈氏判据，可以得到非线性系统的稳定性判别方法：首先求出非线性环节的描述函数N(A)，然后在极坐标图上分别画出线性部分的G(j)曲线和非线性部分的1/N(A)曲线，并假设G(s)的极点均在s左半平面，则31(1)若G(s)曲线不包围1/N(A)曲线，则非线性系统是稳定的。(2)若G(s)曲线包围1/N(A)曲线，则非线性系统是不稳定的。(3)若G(s)曲线与1/N(A)曲线相交，则在理论上将产生等幅振荡或称为自振荡。G(j)0Im-1/N(A)ReG(j)0ImRe-1/N(A)32G(j)0ImRe-1/N(A)M2M1332.自振荡的分析与计算下面从信号的角度分析自振荡产生的条件。在图示非线性系统中，若产生自荡，则意味着系统中有一个正弦信号在流通，不妨设非线性环节的输入信号为x(t)=Asint则非线性环节输出信号基波分量为y1(t)=N(A)Asin[t+N(A)]而线性部