直线与圆知识点及经典例题-含答案-

1圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（一）圆的标准方程222()()xaybr这个方程叫做圆的标准方程。新疆学案王新敞说明：1、若圆心在坐标原点上，这时0ab，则圆的方程就是222xyr。2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要,,abr三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了。就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件新疆学案王新敞确定,,abr，可以根据条件，利用待定系数法来解决。（二）圆的一般方程将圆的标准方程222)()(rbyax,展开可得02222222rbabyaxyx。可见，任何一个圆的方程都可以写成:220xyDxEyF问题：形如220xyDxEyF的方程的曲线是不是圆？将方程022FEyDxyx左边配方得：22224()()222DEDEFxx（1）当FED422＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程022FEyDxyx表示以(,)22DE为圆心，以2242DEF为半径的圆。,（3）当FED422＜0时，方程022FEyDxyx没有实数解，因而它不表示任何图形。圆的一般方程的定义：当224DEF＞0时，方程220xyDxEyF称为圆的一般方程.圆的一般方程的特点：（1）2x和2y的系数相同，不等于零；（2）没有xy这样的二次项。（三）直线与圆的位置关系1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离；(2)相切---求切线；（3）相交---求焦点弦长。2、直线与圆的位置关系判断方法：几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径（2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作判断:当dr时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切;当dr时，直线与圆相交。代数方法主要步骤：（1）把直线方程与圆的方程联立成方程组（2）利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程（3）求出其Δ的值，比较Δ与0的大小：（4）当Δ0时，直线与圆相离；当Δ＝0时，直线与圆相切；当Δ0时，直线与圆相交。【典型例题】类型一：圆的方程例1求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线0y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系．变式1：求过两点)4,1(A、)2,3(B且被直线0y平分的圆的标准方程.2变式2：求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆上所有的点均关于直线0y对称的圆的标准方程.分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(rbyax．∵圆心在0y上，故0b．∴圆的方程为222)(ryax．又∵该圆过)4,1(A、)2,3(B两点．∴22224)3(16)1(rara解之得：1a，202r．所以所求圆的方程为20)1(22yx．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A、)2,3(B两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为13124ABk，故l的斜率为1，又AB的中点为)3,2(，故AB的垂直平分线l的方程为：23xy即01yx．又知圆心在直线0y上，故圆心坐标为)0,1(C∴半径204)11(22ACr．故所求圆的方程为20)1(22yx．又点)4,2(P到圆心)0,1(C的距离为rPCd254)12(22．∴点P在圆外．例2：求过三点O（0，0），M（1，1），N（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的圆心和半径。解：设圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将三个点的坐标代入方程02024020FEDFEDFF＝0，D＝8，E＝6圆方程为：x2＋y28x＋6y＝0配方：（x4）2＋（y＋3）2＝25圆心：（4，3），半径r＝5例3求经过点)5,0(A，且与直线02yx和02yx都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02yx与02yx相切，∴圆心C在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02yx和02yx的距离相等．∴5252yxyx．∴两直线交角的平分线方程是03yx或03yx．又∵圆过点)5,0(A，∴圆心C只能在直线03yx上．设圆心)3,(ttC∵C到直线02yx的距离等于AC，∴22)53(532tttt．化简整理得0562tt．解得：1t或5t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55．3∴所求圆的方程为5)3()1(22yx或125)15()5(22yx．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例4已知圆422yxO：，求过点42，P与圆O相切的切线．解：∵点42，P不在圆O上，∴切线PT的直线方程可设为42xky根据rd∴21422kk.解得43k，所以4243xy，即01043yx因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2x．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200ryyxx，求出切点坐标0x、0y的值来解决，此时没有漏解．例5两圆0111221FyExDyxC：与0222222FyExDyxC：相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程．分析：首先求A、B两点的坐标，再用两点式求直线AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C、2C的任一交点坐标为),(00yx，则有：0101012020FyExDyx①0202022020FyExDyx②①－②得：0)()(21021021FFyEExDD．∵A、B的坐标满足方程0)()(212121FFyEExDD．∴方程0)()(212121FFyEExDD是过A、B两点的直线方程．又过A、B两点的直线是唯一的．∴两圆1C、2C的公共弦AB所在直线的方程为0)()(212121FFyEExDD．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A、B两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例6、求过点(3,1)M，且与圆22(1)4xy相切的直线l的方程．解：设切线方程为1(3)ykx，即310kxyk，∵圆心(1,0)到切线l的距离等于半径2，∴22|31|21kkk，解得34k，∴切线方程为31(3)4yx，即34130xy，当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为3x，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2，故直线3x也适合题意。所以，所求的直线l的方程是34130xy或3x．类型三：弦长、弧问题例7、求直线063:yxl被圆042:22yxyxC截得的弦AB的长.4例8、直线0323yx截圆422yx得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距3d，故弦长2222drAB，从而△OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3AOB.例9、求两圆0222yxyx和522yx的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例10、已知直线0323yx和圆422yx，判断此直线与已知圆的位置关系.例11、若直线mxy与曲线24xy有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.解：∵曲线24xy表示半圆)0(422yyx，∴利用数形结合法，可得实数m的取值范围是22m或22m.例12、圆9)3()3(22yx上到直线01143yx的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l、2l的方程，从代数计算中寻找解答．解法一：圆9)3()3(22yx的圆心为)3,3(1O，半径3r．设圆心1O到直线01143yx的距离为d，则324311343322d．如图，在圆心1O同侧，与直线01143yx平行且距离为1的直线1l与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又123dr．∴与直线01143yx平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线01143yx，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为043myx，则1431122md，∴511m，即6m，或16m，也即06431yxl：，或016432yxl：．5设圆9)3()3(221yxO：的圆心到直线1l、2l的距离为1d、2d，则34363433221d，143163433222d．∴1l与1O相切，与圆1O有一个公共点；2l与圆1O相交，与圆1O有两个公共点．即符合题意的点共3个．类型五：圆与圆的位置关系例13、判断圆02662:221yxyxC与圆0424:222yxyxC的位置关系，例14：圆0222xyx和圆0422yyx的公切线共有条。解：∵圆1)1(22yx的圆心为)0,1(1O，半径11r，圆4)2(22yx的圆心为)2,0(2O，半径22r，∴1,3,5122121rrrrOO∵.212112rrOOrr，∴两圆相交.共有2条公切线。类型六：圆中的最值问题例15：圆0104422yxyx上的点到直线014yx的最大距离与最小距离的差是解：∵圆18)2()2(22yx的圆心为（2，2），半径23r，∴圆心到直线的距离rd25210，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是262)()(rrdrd.例16(1)已知圆1)4()3(221yxO：，),(yxP为圆O上的动点，求22yxd的最大、最小值．(2)已知圆1)2(222yxO：，),(yxP为圆上任一点．求12xy的最大、最小值，求yx2的最大、最小值．分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．解：(1)圆上点到原点距离的最大值1d等于圆心到原点的距离'1d加上半径1，圆上点到原点距离的最小值2d等于圆心到原点的距离'1d减去半径1．所以6143221d．4143222d．所以36maxd．16mind．(2)设kxy12，则02kykx．由于),(yxP是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值．由11222kkkd，得433k．所以12xy的最大值为433，6最小值为433．令tyx2，同理两条切线在x