搜索
第一章基本概念授课时间：授课类型：理论课教学目标:了解微分方程的物理背景；掌握微分方程的基本概念。教学重点：微分方程的基本概念教学难点:1.各种常微分方程模型2.积分曲线和方向场教学过程：§1.1常微分方程的模型1、微分方程的产生和发展常微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，又成为现代科学技术分析问题与解决问题的强有力工具。该课程是与微积分一起成长起来的学科，是学习泛函分析、数理方程、微分几何的必要准备，本身也在工程力学、流体力学、天体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化学、生物、经济等领域有广泛的应用。300多年前，Newton与Leibniz奠定微积分基本思想的同时,就正式提出了微分方程的概念.17世纪末到18世纪，常微分方程研究的中心问题是如何求出通解的表达式.19世纪末到20世纪初,主要研究解的定性理论与稳定性问题.20世纪进入新的阶段,定性上升到理论,进一步发展分为解析法、几何方法、数值方法.解析方法:是把微分方程的解看作是依靠这个方程来定义的自变量的函数.几何方法:(或定性方法)把微分方程的解看作是充满平面或空间或其局部的曲线族.数值方法:求微分方程满足一定初始条件(或边界)条件的解的近似值的各种方法.微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了昀有生命力的数学分支。2、什么叫微分方程代数方程（初中就学过）：求的是未知量，如：，0432=−+xxx是未知量。函数方程：求的是一个或几个函数，数分中学过，方程确定函数，如0,022≥=−yyx；⎩⎨⎧=++=++91222zyxzyx数学分析中研究了变量之间的各种函数计函数的微分与积分，这些函数反映了客观现实世界运动过程中量与量之间的关系，函数未知时，一般知道变量与函数的代数关系式，通过解代数方程解出未知函数。在大量的实际问题中，这样的代数关系式建立不起来，反而可以建立自变量、未知函数及导数组成的关系式，这种关系式（等式）是叫做微分方程。注：导数不可缺少。通过一些方法可以求出一些方程的解（未知函数），而我们说的常微分方程指的是自变量只有一个的微分方程，即未知函数是一元函数。联系着自变量、未知函数及它们的导数（或微分）间的关系式（一般是指等式），数学上称之为微分方程。下面介绍一些现实生活中的几个例子，给出各种常微分方程的模型，了解构建常微分方程模型的几种方法，用到一些物理、化学上的一些基本定律，我们直接拿来用。（详细建模的方法你们以后还会开设数学建模这门课，我们这门课主要是对已有的模型进行分析解答）3、各种常微分方程模型微分方程是数学联系实际问题的重要渠道之一,将实际问题建立成微分方程模型昀初并不是数学家做的,而是由化学家、生物学家和社会学家完成的。实际问题的信息数学模型抽象、简化数学模型解答求解实际问题验证解释例1求一曲线，设在曲线上任意一点（x,y）处的切线斜率等于该点横坐标的2倍，并且该曲线经过点(1,2).xdxdy2=21==xy初始条件xdxdy2=。由于微分形式不变性，两边积分cxy+=2例2物体冷却过程的数学模型将某物体放置于空气中，在时刻0t=时，测得它的温度为0150u=℃，10分钟后测得温度为℃.确定物体的温度与时间的关系,并计算20分钟后物体的温度.假定空气的温度保持为℃.1100u=24au=解设物体在时刻t的温度为()uut=,由牛顿(Neweon)冷却定律可得()(0,)adukuukuudt=−−a(1)这是关于未知函数u的一阶微分方程,利用微积分的知识将(1)改为adukdtuu=−−(2)两边积分,得到l为任意常数n()auuktcc−=−+%%c令,进而ce=%ktauuce−=+(3)根据条件1时,0t=0uu=,和条件210t=分钟时,,得到的值1uu=kc,0acuu=−1150241lnln1.660.051101002410k−==≈−0.05124126tue−=+（4）由(4)得知,当20t=分钟时,物体的温度270u≈℃,而且当t时,℃.→+∞24u→可解释为：经过一段时间后，物体的温度和空气的温度将会没有什么差别了.事实上，经过2小时后，物体的温度已变为24℃，与空气的温度已相当接近.法律破案判断尸体的死亡时间就是用这一冷却过程的函数关系来判断的.例3RLC电路。（电流与时间的关系）如图所示的R-L-C电路.它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t).设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系解:电路的Kirchhoff第二定律:基尔霍夫定律在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.设当开关K合上后,电路中在时刻t的电流强度为I(t),则电流经过电感L,电阻R和电容的电压降分别为CQRIdtdIL,,，其中Q为电量,于是由Kirchhoff第二定律,得到（5）()0.dIQet因为为了消去。两边对t求导，于是得到QLRIdtC−−−=,I=dQdt221().dIRdIIdetdtLdtLCLdt++=0)0(=I这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式若无电容，R-L电路IRdtdIteL+=)(1例4动力学问题物体由高空下落,除受重力作用外,还受到空气阻力的作用,空气的阻力可看作与速度的平方成正比,试确定物体下落过程所满足的关系式.解设物体质量为m，空气阻力系数为，又设在时刻t物体的下落速度为v,于是在时刻t物体所受的合外力为,建立坐标系,取向下方向为正方向,根据牛顿第二定律得到关系式k2Fmgkv=−2dvmmgkdt=−v==(6)而且,满足初始条件t时,v(7)00例5数学摆（书上例子无阻力）数学摆是系于一根长度为l的线上而质量为的质点M.在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圆周运动.如图所示.试确定摆的运动方程m解:Newton第二定律:，角速度与线速度关系maF=dtdlvϕ=取反时针运动方向为计量摆与铅垂线所成的角ϕ的正方向.力MP使质点M向平衡位置A移动.,0ϕ向减少的方向移动，,0ϕ向增大的方向移动，故MϕsinmgP−=r，则由Newton第二定律,得到摆的运动方程为dtdvmmg−=ϕsin，22sindtdmlmgdtdvmϕϕ=−=故（8）22sin.dgdtlϕ=−ϕ附注1:如果研究摆的微小振动,即当ϕ比较小时,可以取ϕ的近似值sinϕ代入上式,这样就得到微小振动时摆的运动方程:22.dgdtlϕϕ=−附注2:假设摆是在一个有粘性的介质中作摆动,如果阻力系数为μ则摆的运动方程为:dtdlmgvmgdtdmlϕμϕμϕϕ−−=−−=2222.dddtmdtlϕμϕgϕ=−−附注3:假设摆还沿着摆的运动方向受到一个外力F(t)的作用,则摆的运动方程为:221().ddgFtdtmdtlmlϕμϕϕ=−−+例6人口模型英国人口统计学家马尔萨斯（Malthus）在1798年提出了闻名于世的Malthus人口模型的基本假设是：在人口自然增长的过程中，净相对增长率（单位时间内人口的净增长数与人口总数之比）是常数，记此常数为（生命系数）.r在t到t这段时间内人口数量t+Δ()NNt=的增长量为（()()()NttNtrNtt+Δ−=Δ()(1,()NttNttrNt)+Δ−Δ==）于是满足微分方程()NtdNrNdt=（9）将上式改写为dNrdtN=于是变量和被“分离”，两边积分得NtlnNrtc=+%rtNce=其中c为任意常数.（因为也是方程（9）的解.ce=%t=0N=如果设初始条件为t时,00()NtN=代入上式可得，.即方程（9）满足上面初值条件的解为00rtcNe−=0()0()rttNtNe−=如果，上式说明人口总数将按指数规律无限增长.将时间t以1年或10年离散化，那么可以说，人口数是以为公比的等比数列增加的.0r()Ntre当人口总数不大时，生存空间、资源等极充裕，人口总数指数的增长是可能的.但当人口总数非常大时，指数增长的线性模型则不能反映这样一个事实；环境所提供的条件只能供养一定数量的人口生活，所以Malthus模型在很大时是不合理的.()Nt荷兰生物学家Verhulst引入常数（环境昀大容纳量）表示自然资源和环境条件所容纳的昀大人口数，并假设净相对增长率为mN()1mNtrN⎛⎞−⎜⎝⎠⎟，即净相对增长率随的增加而减少，当时，净增长率.（较合理）()Nt()mNtN→0→按此假定，人口增长的方程应改为1mdNNrdtN⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠N这就是Logistic模型.当与相比很大时，mNN2mrNN与rN相比可以忽略，则模型变为Malthus模型；但与相比不是很大时，mNN2mrNN这一项就不能忽略，人口增长的速度要缓慢下来.我们用Logistic模型.来预测地球未来人数，某些人口学家估计人口自然增长率为而统计得世界人口在1960年为29.8亿，增长率为1.85%，由Logistic模型，有0.029,r=829.8100.01850.0291mN⎛⎞×=×−⎜⎟⎝⎠，可得，即世界人口容量82.3亿，以（1.21）式右端为二项多项式，以882.310mN=×2mNN=为顶点，当2mNN时人口增长率增加；当2mNN时人口增长率减少，即人口增长到841.15102mN=×时增长率将逐渐减少.这与人口在20世纪70年代为40亿左右时增长率昀大的统计结果相符.例7传染病模型假设传染病传染期间其地区总人数不变，为常数。开始时染病人数为n0x，在时刻t，得健康人数为，染病人数为()yt().xt由于总人数为常数，有()()xtytn+=(10)设单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比，比例常数为，称为传染系数，于是kk0()()(),(0).dxtkytxtxxdt==（11）由（10）式得0()(),(0)dxtkxnxxxdt=−=,（12）这个模型称为SI模型，即易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）模型。对无免疫的传染病，如痢疾，伤风等，病人治愈后会再次被感染，设单位时间治愈率为μ则方程（11）应修正为0()()()(),(0),dxtkytxtxtxxdtμ=−=又由（10），得0()1()(),(0)dxtkxnxxkxnxxxdtμ,σ=−−=−−=（13）这个称为SIS模型，这里1μ为这个传染病的平均传染期，kσμ=，为整个传染期内每个病人有效接触的平均人数（接触数）。对有很强免疫性的传染病，如天花、流感等，病人治愈后不会再被感染。设在时刻t的愈后免疫人数为，称为移出者（Removed），而治愈率l为常数。则()rt()().drtlxtdt=此时，关系式（10）和（11）变为()()()xtytrt++=n和()()()().dxtdrtkytxtdtdt=−由上三式消去，得()rt000()()()(),(0),()()(),(0)dxtkytxtlxtxxdtdytkytxtyyxdt⎧=−=⎪⎪⎨⎪=−==,⎪⎩（14）这个模型称为SIR模型。考虑潜伏期，脉冲接种，有S