常微分方程解法

常见的有解析解的常微分方程1、可分离变量方程：1122()()()()0fxgydxfxgydy两边同除以12()()0gyfx，得1221()()0()()fxgydxdyfxgy积分，得1221()()()()fxgydxdyCfxgy2、齐次方程：'()yyfx令yux，则yux，'duyuxdx于是，原方程()ln()()dududxduuxfuxCdxfuuxfuu3、可化为齐次型的方程：111222()axbycdyfdxaxbyc（1）当120cc时，11112222()()()yabaxbydyyxffgydxaxbyxabx，利用2求解（2）11220abab，即1122abab，则22122222()()()axbycdyfgaxbydxaxbyc令22axbyu，则22()duabgudx，利用1求解（3）11220abab，1c，2c不全为0解方程组11122200axbycaxbyc，求交点(,)4、一阶线性方程：'()()ypxyqx第一步：求对应齐次方程'()0ypxy的通解，得()pxdxyCe第二步：令原方程的解为()()pxdxyCxe第三步：代入原方程整理，得()()'()()()()pxdxpxdxCxeqxCxqxedxC第四步：写出原方程通解()()[()]pxdxpxdxyqxedxCe5、贝努里方程：'()()nypxyqxy，其中0,1n令1nzy，则原方程1()()1dzpxzqxndx(1)()(1)()dznpxznqxdx，利用4求解6、全微分方程：(,)(,)0MxydxNxydy，且MNyx通解为0000(,)(,)xyxyMxydxNxydyC7、不显含y的二阶方程：''(,')yfxy令'yp，则'''yp原方程'(,)pfxp，这个一阶方程的解为1(,)pxC即1'(,)yxC，原方程通解为12(,)yxCC8、不显含x的二阶方程：''(,')yfyy令'yp，则''dpdpdydpypdxdydxdy原方程1(,)dpfypdyp，其解为1(,)pyC即1(,)dyyCdx，原方程通解为21(,)dyxCyC9、二阶常系数线性齐次方程：220dydypqdxdx第一步：求特征方程20pq的两根。第二步：（1）两个不等实根1和2，通解1212xxyCeCe（2）二重根，通解12()xyCCxe（3）共轭复根1,2i，通解12(cossin)xyeCxCx10、二阶常系数线性非齐次方程：22()dydypqfxdxdx先求对应的齐次方程的通解y，再根据()fx求一个特解0y（与()fx的形式有关）（1）()()nfxPx，其中()nPx是x的n次多项式(i)当0q时，设0()nyQx，用待定系数法(ii)当0q，0p时，设0()nyxQx，用待定系数法(iii)当0q，0p时，设20()nyxQx，用待定系数法（2）()()xnfxPxe(i)当不是特征方程的根时，设0()xnyQxe，用待定系数法(ii)当是特征方程的单根时，设0()xnyxQxe，用待定系数法(iii)当是特征方程的重根时，设20()xnyxQxe，用待定系数法（3）()()cosxnfxPxex或()()sinxnfxPxex由欧拉公式知，()cosxnPxex和()sinxnPxex是函数()()ixnPxe的实部和虚部。先考虑方程2()2()ixndydypqPxedxdx的解，用（2）的方法，取其实部或虚部即可。