常微分课后答案第一章

第一章绪论§1.1微分方程：某些物理过程的数学模型§1.2基本概念习题1.21．指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否线性的：（1）yxdxdy24；（2）012222xydxdydxyd；（3）0322ydxdyxdxdy；（4）xxydxdydxydxsin3522；（5）02cosxydxdy；（6）xedxydy22sin．解（1）一阶线性微分方程；（2）二阶非线性微分方程；（3）一阶非线性微分方程；（4）二阶线性微分方程；（5）一阶非线性微分方程；（6）二阶非线性微分方程．2．试验证下面函数均为方程0222ydxyd的解，这里0是常数．（1）xycos；（2）11(cosCxCy是任意常数)；（3）xysin；（4）22(sinCxCy是任意常数)；（5）2121,(sincosCCxCxCy是任意常数)；（6）BABxAy,()sin(是任意常数)．解（1）yxdxydxdxdy2222cos,sin，所以0222ydxyd，故xycos为方程的解．（2）yxCyxCy2211cos,sin，所以0222ydxyd，故xCycos1为方程的解．（3）yxdxydxdxdy2222sin,cos，所以0222ydxyd，故xysin为方程的解．（4）yxCyxCy2222sin,cos，所以0222ydxyd，故xCysin2为方程的解．（5）yxCxCyxCxCy2222121sincos,cossin，所以0222ydxyd，故xCxCysincos21为方程的解．（6）yBxAyBxAy22)sin(,)cos(，故0222ydxyd，因此)sin(BxAy为方程的解．3．验证下列各函数是相应微分方程的解：（1）xxysin，xyyxcos；（2）212xCy，xxyyx2)1(2（C是任意常数）；（3）xCey，02yyy（C是任意常数）；（4）xey，xxxeyeyey2212；（5）xysin，0cossinsin222xxxyyy；（6）xy1，1222xyyxyx；（7）12xy，xyxyy2)1(22；（8）)()(xfxgy，)()()()(2xfxgyxgxfy．证明（1）因为2sincosxxxxy，所以xxxxxxxyyxcossinsincos．（2）由于21xCxy，故xxCxxCxxxyyx2)12(1)1()1(2222．（3）由于xCey，xCey，于是022xxxCeCeCeyyy．（4）由xey，因此xxxxxxxxeeeeeeyeyey22212)(2．（5）因为xycos，所以0cossinsinsin2sincoscossinsin22222xxxxxxxxxyyy．（6）从21xy，得1111122222xyyxxxxxyx．（7）由xy2，得到xyxyxxxxxy2)1(2)1)(1()1(2222222．（8）)()()()()()()()()()()()()()()(222xfxgyxgxfxfxgxfxgxgxfxfxgxfxgxfy．4．给定一阶微分方程xdxdy2，（1）求出它的通解；（2）求通过点)4,1(的特解；（3）求出与直线32xy相切的解；（4）求出满足条件210ydx的解；（5）绘出（2），（3），(4)中的解的图形．解（1）通解Cxxdxy22．（2）由41xy，得到3C，所以过点)4,1(的特解为32xy．（3）这时122xx，切点坐标为)5,1(，由51xy，得到4C，所以与直线32xy相切的解为42xy．（4）由231)31()(10310210CCxxdxCxydx，得到35C，故满足条件210ydx的解为352xy．（5）如图1-1所示．-3-2-1123x24681012y图1-15．求下列两个微分方程的公共解：（1）422xxyy；（2）2422yyxxxy．解公共解必须满足2424222yyxxxxxy，即022242xyxy，得到2xy或212xy是微分方程422xxyy和2422yyxxxy的公共解．6．求微分方程02yyxy的直线积分曲线．解设直线积分曲线为0CByAx，两边对x求导得，0yBA，若0B，则0A，得到0C，不可能．故必有0B，则BAy，代入原方程有02BCxBABAxBA，或0)(22BABCxBABA，所以，0,022BABCBABA，得到0,0CA或BCA．所求直线积分曲线为0y和1xy．7．微分方程32224xyyyx，证明其积分曲线关于坐标原点)0,0(成中心对称的曲线，也是此微分方程的积分曲线．证明设0),(yxF是微分方程32224xyyyx的积分曲线，则与其关于坐标原点)0,0(成中心对称的曲线是0),(yxF．由于0),(yxF适合微分方程32224xyyyx，故3222),(),(4xyyyxFyxFxyx，分别以yx,代yx,，亦有3222))(()(),(),()(4yxyyxFyxFxyx，而由0),(yxF，得到),(),(yxFyxFyyx，从而0),(yxF也是此微分方程的积分曲线．8．物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成比例，如果物体在20分钟内由100C冷至60C，那么，在多久的时间内，这个物体的温度达到30C？假设空气的温度为20C．解设物体在时刻t的温度为)(tuu，20au，微分方程为)(auukdtdu，解得ktaCeuu，根据初始条件10000uut，得800auuC，因此ktaaeuuuu)(0，根据60,201uut，得到kaaeuuuu2001)(，由此202lnln20110aauuuuk，所以得到teu202ln8020，当30u时，解出60t（分钟）1（小时）．在1小时的时间内，这个物体的温度达到30C．9．试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：（1）曲线上任一点的切线与该点的向径夹角为；（2）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l；（3）曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数2a；（4）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分被切点等分；（5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；（6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项；（7）曲线上任一点的切线的斜率与切点的横坐标成正比．（提示：过点),(yxd的横截距和纵截距分别为yyx和yxy）．解（1）曲线上任一点为),(yx，则xyyxyy1tan，即tantanyxxyy．（2）曲线上任一点),(yx处的切线方程为yyxYXy，与两坐标轴交点为),0(yxy和)0,(yyyx，两点间距离为lyxyyyyx22)(，即222)()(lyxyyyx．（3）由（2），有221ayxyyyyx，或yayyx222)(．（4）由（2），有2yxyy，或0yyx．（5）由（2），2xyxy．（6）同样由（2），2yxyxy，或xyxy2．（7）易得kxy（k为常数且0k）．