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-77-第一章三角形的证明第1节等腰三角形一、全等三角形的性质与判定1、全等三角形的性质定理1全等三角形的对应边相等。定理2全等三角形的对应角相等。推论1全等三角形的面积相等。推论2全等三角形的周长相等。2、全等三角形的判定公理1两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）公理2两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）公理3三边对应相等的两个三角形全等（SSS）定理1两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）定理2斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。（HL）二、等腰三角形的性质与判定1、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）推论1等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。（三线合一）推论2等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高、两个底角的平分线都相等，并且它们的交点到底边两端点距离相等。【说明】①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°。②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角或直角，但顶角可为钝角或直角。③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，周长为C，则2b＜a＜2C④等腰三角形的三角关系：设顶角为∠C，底角为∠A、∠B，则∠C＝180°—2∠A＝180°—2∠B，∠A＝∠B＝2180A2、等腰三角形的判定定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）三、等边三角形的性质与判定1、等边三角形的性质定理1等边三角形的三条边都相等。定理2等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。推论：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对直角边等于斜边一半。2、等边三角形的判定定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。四、反证法小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等。你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？八年级下册-78-小明是这样想的：你能理解他的推理过程吗？小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法叫做反证法。第2节直角三角形一、直角三角形的性质与判定1、直角三角形的性质定理1：直角三角形的两个锐角互余。（角的特征）定理2：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。（勾股定理）（边的特征）2、直角三角形的判定定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。定理1：有两个角互余的三角形是直角三角形。定理2：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。二、已知一条直角边和斜边作直角三角形1、尺规作图已知：如图1-2-16所示，线段a，c（a＜c），直角α求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c作法：2、直角三角形全等的判定定理斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。（HL）-79-三、互逆命题与互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。相对于逆命题来说，另一个命题就为原命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，我们称它们为互逆定理。其中一个定理称为另一个定理的逆定理。相对于逆定理来说，另一个命题就为原定理。第3节线段的垂直平分线一、线段的垂直平分线1、性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。2、判定定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。3、三角形三条边的中垂线性质定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。二、已知底边及底边上的高作等腰三角形已知：如图1-3-11（1）所示，线段a、h求作：△ABC，使AB＝AC，BC＝a，高AD＝h作法：①作线段BC＝a；②作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；③在MN上截取线段DA，使DA＝h；④连接AB、AC，则△ABC就是所求作的三角形（如图1-3-11（2）所示）三、过一点作已知直线的垂线1、过直线上一点作已知直线的垂线已知：直线l和l上一点P，求作：直线l的垂线，使它经过点P作法：①以点P为圆心，以任意长为半径作弧，交直线l于点A和点B；②作线段AB的垂直平分线MN，则直线MN垂直于直线l，且经过点P。（如图1-3-12所示）2、过直线外一点作已知直线的垂线已知：直线l和直线l外一点P求作：直线l的垂线，使它经过点P作法：①任取一点K，使点K与点P分居直线l的两侧；②以点P为圆心，PK长为半径作弧，交直线l于点A和点B；③作线段AB的垂直平分线MN，则直线MN垂直于直线l，且经过点P。（如图1-3-13所示）-80-第4节角平分线一、角平分线1、性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。2、判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。3、三角形三个内角的平分线性质定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。【说明】列表比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理三角形的分类三边垂直平分线三个内角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点直角三角形交于三角形外一点钝角三角形交于斜边的中点交点性质到三个顶点的距离相等到三条边的距离相等二、用尺规作一个角的平分线（回顾）已知：∠AOB求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC作法：①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点D，交OB于点E；②分别以点D、E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点P；③过点P作射线OC，则∠AOC＝∠BOC，即OC是∠AOB的平分线第二章一元一次不等式与一元一次不等式组第1节不等关系一、不等式的概念一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。需要说明的是，用“≠”连接的式子也是不等式。【说明】“不大于”指的是“等于或小于”，通常用符号“≤”表示；“不小于”指的是“等于或大于”，通常用符号“≥”表示。二、不等式的分类1、绝对不等式：在任何条件下都成立的不等式。如5＞3，x2≥0，|y|＞－1等。2、矛盾不等式：在任何条件下都不成立的不等式。如2＞3，a2＜0等。3、条件不等式：在一定条件下才能成立的不等式。如x—2＞0，当x＞2时不等式成立；当x≤2时不等式不成立。三、常见的不等式基本语言的含义1、若x＞0，则x是正数2、若x＜0，则x是负数3、若x≥0，则x是非负数4、若x≤0，则x是非正数5、若x－y＞0，则x大于y6、若x－y＜0，则x小于y7、若x－y≥0，则x不小于y8、若x－y≤0，则x不大于y9、若xy＞0（或xy＞0），则x、y同号；10、若xy＜0（或xy＜0），则x、y异号-81-第2节不等式的基本性质一、不等式的基本性质1、文字叙述不等式的基本性质1不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。不等式的基本性质2不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。不等式的基本性质3不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。2、字母表示不等式的基本性质1：如果a＞b，那么a±c＞b±c；如果a＜b，那么a±c＜b±c不等式的基本性质2：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc，ac＞bc如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc，ac＜bc不等式的基本性质3：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc，ac＜bc如果a＜b，c＜0，那么ac＞bc，ac＞bc二、不等式的其他性质1、如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a（对称性）2、如果a＞b，b＞c，那么a＞c；如果a＜b，b＜c，那么a＜c；（传递性）3、如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d；如果a＜b，c＜d，那么a＋c＜b＋d；4、如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd；如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac＜bd；5、如果a＜b＜0，c＞d＞0，那么ac＜bd；如果a＜b＜0，c＜d＜0，那么ac＞bd；6、如果a＞b＞0，那么|a|＞|b|；如果a＜b＜0，那么|a|＞|b|；7、如果a＞b＞0，那么na＞nb（n为正整数）；8、如果a＜b＜0，那么na＜nb（n为正奇数）；如果a＜b＜0，那么na＞nb（n为正偶数）；三、不等式的三个基本性质与等式的两个基本性质比较1、相同点：不管是等式还是不等式，在它们的两边都加（或减）同一个数或同一个整式，结果仍然成立。2、不同点：对于等式来说，在等式的两边都乘（或除以）同一个正数（或负数），等式仍然成立；但对于不等式来说，在不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，而在不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号要改变方向。第3节不等式的解集一、不等式的解能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。如，6是不等式x＞5的解，7，8，9，10也是不等式x＞5的解。【说明】不等式的解可能是有限个，也可能是无限个，还可能不存在，即无解。例如，不等式2x≤0的解只有一个为x＝0，不等式x－2≥1的解有无数个，而不等式4x＜0无解。二、不等式的解集1、定义一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集。例如，不等式x＋1＞5的解集是x＞4，不等式2x＞0的解集是x≠0，不等式2x＜0的解集是空集。-82-2、表示方法（1）用不等式表示一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解集是某个范围，这个范围可以用一个简单的不等式x＞a（x≥a）或x＜a（x≤a）的形式表示出来。（2）用数轴表示①在数轴上表示不等式的解集的步骤A、画数轴B、定界点：若解集包含“界点”，则用实心圆点；若解集不包含“界点”，则用空心圆圈。C、定方向：相对于“界点”而言，大于向右画，小于向左画。②在数轴上表示不等式的解集的方法三、解不等式1、定义：求不等式的解集的过程叫做解不等式。2、主要依据：不等式的基本性质第4节一元一次不等式一、一元一次不等式的概念不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。二、解一元一次不等式的基本步骤步骤变形名称具体做法①去分母在不等式两边同时乘以各分母的最小公倍数②去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号③移项把含有未知数的项移到不等号左边，其他项移到不等号右边④合并同类项把不等式化成ax＞b（a≠0）或ax＜b（a≠0）的形式⑤将未知数的系数化为1在方程两边同时除以未知数的系数a，得x＞ba或x＜ba【说明】解一元一次不等式的注意事项（1）去分母时，不等号两边各项都要乘各分母最小公倍数，不要漏乘不带分母的项。（2）在步骤①和⑤中，如果乘数或除数是负数，要把不等号的方向改变。（3）在数轴上表示不等式的解集时，要注意不等号以及端点的情况。第5节一元一次不等式与一次函数一、一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的联系从“数”的角度看，求一元一次方程kx＋b＝0的解，相当于一次函数y＝kx＋b，当y＝0时，求自变量x的值；求一元一次不等式kx＋b＞0的解集，相当于一次函数y＝kx＋b，当y＞0时，求自变量x的取值范围；求一元一次不等式kx＋b＜0的解集，相当于一次函数y＝kx＋b，当y＜0时，求自变量x的取值范围。从“形”的角度看，求一元一次方程kx＋b＝0的解，相当于确定直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标；求一元一次不等式kx＋b＞0的解集，相当于确定直线y＝kx＋b在x轴上方时的自变量x的取值范围；求一元一次不等式kx＋b＜0的解集，相当于确定直线y＝kx＋b在x轴下方时的自变量x的取值范围。-83-二、利用图象法解一元一次不等式1、用图象法解不等式：－2x＋3＜3x－72、归纳总结在同一直角坐标系画出一次函数y1＝k1x＋b1与y2＝k2x＋b2的图象，交点的横坐标就是一元一次方程的k1x＋b1＝k2x＋b2解；y1＞y2的部分所对应的自变量x的取值范围就是一元一次不等式k