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第一单元集合与常用逻辑用语考点一集合1.(2017年全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x1},B={x|3x1},则().A.A∩B={x|x0}B.A∪B=RC.A∪B={x|x1}D.A∩B=⌀【解析】∵B={x|3x1},∴B={x|x0}.又∵A={x|x1},∴A∩B={x|x0},A∪B={x|x1}.故选A.【答案】A2.(2017年全国Ⅱ卷)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=().A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}【解析】∵A∩B={1},∴1∈B.∴1-4+m=0,即m=3.∴B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.故选C.【答案】C3.(2017年全国Ⅲ卷)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为().A.3B.2C.1D.0【解析】集合A表示以原点O为圆心,1为半径的圆上的所有点的集合,集合B表示直线y=x上的所有点的集合.由图形(图略)可知,直线与圆有两个交点,所以A∩B中元素的个数为2.故选B.【答案】B4.(2016年全国Ⅱ卷)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)0,x∈Z},则A∪B=().A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}【解析】B={x|(x+1)(x-2)0,x∈Z}={x|-1x2,x∈Z}={0,1},又A={1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.【答案】C5.(2016年浙江卷)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(RQ)=().A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)【解析】∵Q={x∈R|x2≥4},∴RQ={x∈R|x24}={x|-2x2}.∵P={x∈R|1≤x≤3},∴P∪(RQ)={x|-2x≤3}=(-2,3].【答案】B6.(2017年浙江卷)已知集合P={x|-1x1},Q={x|0x2},那么P∪Q=().A.(-1,2)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,2)【解析】∵P={x|-1x1},Q={x|0x2},∴P∪Q={x|-1x2}.故选A.【答案】A考点二命题及其关系、充分条件与必要条件7.(2017年全国Ⅰ卷)设有下面四个命题:p1:若复数z满足∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;p4:若复数z∈R,则∈R.其中的真命题为().A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4【解析】设z=a+bi(a,b∈R),z1=a1+b1i(a1,b1∈R),z2=a2+b2i(a2,b2∈R).对于p1,若∈R,即=-∈R,则b=0,所以z=a+bi=a∈R,所以p1为真命题.对于p2,若z2∈R,即(a+bi)2=a2+2abi-b2∈R,则ab=0.当a=0,b≠0时,z=a+bi=bi∈/R,所以p2为假命题.对于p3,若z1z2∈R,即(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i∈R,则a1b2+a2b1=0.而z1=,即a1+b1i=a2-b2i⇔a1=a2,b1=-b2.因为a1b2+a2b1=0⇒/a1=a2,b1=-b2,所以p3为假命题.对于p4,若z∈R,即a+bi∈R,则b=0⇒=a-bi=a∈R,所以p4为真命题.故选B.【答案】B8.(2016年四川卷)设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数x,y满足{-则p是q的().A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】p表示以点(1,1)为圆心,√为半径的圆面(含边界),如图.q表示的平面区域为图中阴影部分(含边界).由图可知,p是q的必要不充分条件.【答案】A9.(2014年全国Ⅱ卷)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:f'(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则().A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件【解析】当函数在x=x0处有导数且导数为0时,x=x0未必是函数的极值点,还要看函数在这一点左右两边的导数的符号,若符号一致,则该点不是极值点.而若x=x0为函数的极值点,则函数在x=x0处的导数一定为0.所以p是q的必要不充分条件.【答案】C考点三简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词10.(2015年全国Ⅰ卷)设命题p:∃n∈N,n22n,则�p为().A.∀n∈N,n22nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n【解析】因为“∃x∈M,p(x)”的否定是“∀x∈M,�p(x)”,所以命题“∃n∈N,n22n”的否定是“∀n∈N,n2≤2n”.故选C.【答案】C11.(2014年全国Ⅰ卷)不等式组{-的解集记为D,有下面四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2;p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2;p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3;p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.其中的真命题是().A.p2,p3B.p1,p4C.p1,p2D.p1,p3【解析】作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).由{-得交点A(2,-1).--1,观察直线x+y=1与直线x+2y=0的倾斜程度,可知u=x+2y过点A时取得最小值0y=-+,表示纵截距.结合题意知p1,p2正确.【答案】C12.(2014年湖南卷)已知命题p:若xy,则-x-y;命题q:若xy,则x2y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(�q);④(�p)∨q中,真命题是().A.①③B.①④C.②③D.②④【解析】由不等式的性质可知,命题p为真命题,命题q为假命题,则�p为假命题,�q为真命题.故①p∧q为假命题,②p∨q为真命题,③p∧(�q)为真命题,④(�p)∨q为假命题.所以选C.【答案】C13.(2015年山东卷)若“∀x∈[],tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为.【解析】∵函数y=tanx在[]上是增函数,∴ymax=tan=1.依题意,m≥ymax,即m≥1,∴m的最小值为1.【答案】1高频考点:集合的概念及其运算、命题的真假判断.命题特点:试题注重基础,一般是选择题.§1.1集合一集合的概念1.集合中元素的特征:、、无序性.2.集合与元素的关系:a属于集合A,记作;b不属于集合A,记作.3.常见数集及符号表示:自然数集(N),正整数集(N*或N+),整数集(Z),有理数集(Q),实数集(R).4.集合的表示法:列举法、描述法、图示法.5.集合间的关系子集:A⊆B或.真子集:A⫋B或.集合相等:A⊆B且B⊆A⇔A=B.空集是集合的子集,是集合的真子集.二集合的性质1.集合的运算(1)交集:A∩B={x|x∈A且x∈B}.(2)并集:A∪B={x|x∈A或x∈B}.(3)补集:UA={x|x∈U且x∉A}.2.需要特别注意的运算性质和结论A∪⌀=A,A∩⌀=⌀,A∩(UA)=⌀,A∪(UA)=U;A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A.☞左学右考1判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)若集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A,B,C表示同一个集合.()(2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.()(3)若A∩B=A∩C,则B=C.()(4)对于任意两个集合A,B,都有(A∩B)⊆(A∪B)成立.()2若集合A={x∈N|x≤√},a=2√,则下列结论正确的是().A.{a}⊆AB.a⊆AC.{a}∈AD.a∉A3集合A={x|x-20},B={x|xa},若A∩B=A,则实数a的取值范围是.知识清单一、1.确定性互异性2.a∈Ab∉A5.B⊇AB⫌A任何任何非空基础训练1.【解析】(1)错误,A=R,B=[0,+∞),C={(x,y)|y=x2}表示抛物线y=x2上所有的点的集合,所以A,B,C表示的不是同一个集合.(2)错误,x=0.(3)错误,例如A=⌀,结论就不成立.(4)正确,对于任意两个集合A,B,都有(A∩B)⊆(A∪B)成立,这是集合的运算性质.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√2.【解析】因为a=2√=√∉N,所以a∉A,故选D.【答案】D3.【解析】集合A={x|x-20}={x|x2},B={x|xa},因为A∩B=A,所以A⊆B,所以a≥2.【答案】[2,+∞)题型一集合的概念【例1】已知集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4中有且只有一个是正确的.则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是.【解析】若只有①正确,即a=1,则b≠1不正确,所以b=1,与集合中元素的互异性矛盾,不符合题意;若只有②正确,则有序数组为(3,2,1,4),(2,3,1,4);若只有③正确,则有序数组为(3,1,2,4);若只有④正确,则有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).综上所述,有序数组的个数为6.【答案】6研究集合问题,首先要抓住元素,其次看元素应满足的属性.对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.【变式训练1】(1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是().A.1B.3C.5D.9(2)(2017山东实验中学模拟)设集合A={x|(x-a)21},且2∈A,3∉A,则实数a的取值范围为.【解析】(1)∵A={0,1,2},∴B={x-y|x∈A,y∈A}={0,-1,-2,1,2}.∴集合B中有5个元素.(2)由题意得{--即{或故1a≤2.【答案】(1)C(2)(1,2]题型二集合间的基本关系【例2】已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1x2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是.【解析】当B=⌀时,有m+1≥2m-1,则m≤2.当B≠⌀时,若B⊆A,则{--解得2m≤4.综上,实数m的取值范围是(-∞,4].【答案】(-∞,4]在集合运算中,遇到B⊆A,应注意是否需要分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论.【变式训练2】(1)已知集合A={x∈R||x|≥2},B={x∈R|-x2+x+20},则下列结论正确的是().A.A∪B=RB.A∩B≠⌀C.A⊆RBD.A⊇RB(2)(2017湖南师大附中模拟)已知集合A={x|√=√-,x∈R},B={1,m},若A⊆B,则m的值为().A.2B.-1C.-1或2D.2或√【解析】(1)A={x|x≥2或x≤-2},B={x|-1x2},RB={x|x≥2或x≤-1},则A⊆RB.(2)由√=√-,得x=2,则A={2}.因为B={1,m},且A⊆B,所以m=2.【答案】(1)C(2)A题型三集合的运算【例3】如图,已知R是实数集,集合A={x|lo(x-1)0},B={|-},则阴影部分表示的集合是().A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1)D.(0,1]【解析】图中阴影部分表示集合B∩RA.∵A={x|lo(x-1)0}={x|1x2},B={|-}={},∴RA={x|x≤1或x≥2},B∩RA={x|0x≤1},故选D.【答案】D在进行集合的运算时要尽可能借助Venn图和数轴求解,使抽象问题直观化.【变式训练3】(1)(2017郑州调研)设集合M={x|x2=x},N={x|lgx≤0},则M∪N=().A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1](2)(2017太原一模)已知全集U=R,集合M={x|(x-1)(x+3)0},N={x||x|≤1},则如图