波尔振动的物理研究实验报告

波尔振动的物理研究【实验目的】1.观察扭摆的阻尼振动，测定阻尼因数。2.研究在简谐外力矩作用下扭摆的受迫振动，描绘扭摆在不同阻尼情况下的共振曲线（幅频特性曲线）。3.描绘外加强迫力矩与受迫振动之间的位相随频率变化的特性曲线（即相频特性曲线）。4.分析波尔共振的相位和角速度的关系。【实验仪器】扭摆（波尔摆）一套（PHYWE），秒表，数据采集器，转动传感器。【实验原理】1．扭摆的阻尼振动在有阻力矩的情况下，使扭摆由某一摆角开始做自由振动。此时扭摆受到两个力矩的作用：一是弹性恢复力矩M弹，它与摆的扭转角成正比，即Mc弹＝（c为扭转系数）；二是阻力矩阻M阻，可近似认为它与摆动的角速度成正比，即dMrdt阻＝(r为阻矩系数）。若扭摆的转动惯量为I，则根据转动定律可列出扭摆的运动方程：22ddIcrdtdt（1）即220drdrdtIdtI（2）令2rI（称为阻尼因数），20rI（称0为固有圆频率），则式(2)的解为002exp()cosexp()cosAttAttT（3）其中0A为扭摆的初始振幅，T为扭摆做阻尼振动的周期，且2202T。由式（３）可见，扭摆的振幅随着时间按指数规律衰减。若测得初始振幅0A及第n个周期时的振幅nA，并测得摆动n个周期所用的时间nT，则有则01lnAnTA（4）2．扭摆的受迫振动当扭摆在有阻尼的情况下受到简谐外力矩作用时，就会作受迫振动。设外加简谐力矩通过弹簧加到摆轮上，其频率是，幅度为0M（00cM，0为外力矩角幅），且有0cosMMt外＝，则扭摆的运动方程变为22022cosddhtdtdt（5）其中0hMI，在稳态情况下，式（5）的解是cos()At（6）其中A为角振幅，222220()4hA（7）而角位移与简谐外力矩之间的位相差则可表示为2202arctan()（8）式（6）说明，扭摆在简谐外力矩作用下的运动也是简谐振动，它的振幅是A，它的频率与外力矩的频率相同，但二者的位相差是。由式（7）可见，当→0时，振幅A接近外力矩角幅0（∵2000MchII），随着的逐渐增大，振幅A将随之增加，当2202时，振幅A有最大值，此时称为共振，此频率称为共振频率，即2202共。当共或共时，振幅都将减小；当很大时，振幅趋于零。由式（8）可见，当00时，有02，即受迫振动的位相落后于外加简谐力矩的位相；在共振情况下，位相落后接近于2，而在0时（有阻尼时不是共振状态），位相才正好落后2；当0时，有0tg，此时2，即位相落后得更多；当0时，趋近，即接近于反位相。在已知0及的情况下，则可由式（8）计算出各值000exp()exp()AAnTAAnT所对应的值。【实验内容及步骤】1．波尔共振实验注意事项(1)对电路有充分的认识，了解每一部分的作用（电流表、二极管等）。电路所加的电流不能超过1A。(2)分析清楚自由振动、阻尼振动、受迫振动的区别：电路上怎么去区分这三种状态。(3)做受迫振动时，输出电压调到最大，则电机转速变化范围最大，有利于调出共振状态。2.手工操作实验内容（1）测量扭摆在自由状态下的固有频率。（2）观察阻尼振动现象，测量阻尼电压是6V和8V时候的阻尼因数β。（3）观察共振现象，测量在6V和8V阻尼情况下的受迫振动的幅频特性和相频特性。幅频特性曲线：以ω/ω0为横坐标，振幅A为纵坐标。相频特性曲线：以ω/ω0为横坐标，相位为纵坐标。3.计算机测控实验内容此方法采用转动传感器（运动记录仪）和计算机自动采集和处理数据。将一条细线的一端粘在波尔摆黄色转盘的边缘上，另一端绕过传感器的转轮绑一个2g的砝码，使得波尔摆转动时可以带动传感器转动，这样就可以通过传感器获得波尔摆的转动角度、角速度、和周期等一系列参数。（1）实验开始时，在计算机里打开一个与数据采集器对应的软件（measure）。在软件的参数设置时，同时选择角度和角速度，软件就会在同一个坐标里画出扭摆的转动角度、角速度和周期的样图，将样图和得到的数据存盘，存在“E:\2010材料物理10330025陈嘉平光信息10329051陈海域”。（2）数据的导出：在measure菜单中选择exportdata，里面的两个单选按钮都选第二个，然后存盘就可以了。在样图上分析周期：点击工具栏最后一栏的第二个按钮，再点击calculate，对数据分析可以得出周期。我们希望能在同一坐标系下画出扭摆的转动角度和角速度的相图。运行Origin软件，点击工具栏的ImportASCII按钮，打开刚才存盘的数据文件，将第二列数据改成X坐标，再选定后面两列数据，点击“line”，就可以画出转动角度和角速度的相图了。（3）用上述的方法对扭摆的三种振动状态进行分析。要求：①利用软件算出扭摆的振动周期和固有频率。②讨论各振动状态相图中的物理意义。③自由振动、阻尼振动、受迫振动的相图的异同点。【实验数据记录与整理】一、手工操作1.测量共振摆在自由状态下的固有频率测量玻尔摆的固有频率，通过改变初始振幅来取得多个数据。同时验证初始振幅与玻尔摆的固有频率无关。步骤：①将玻尔摆转至一定角度A0。②放手，用电子表测定一定周期数后的时间nT。这里定为10个周期。③记录A0、10T。④改变初始振幅A0，重复①②③步。⑤计算玻尔摆平均共振频率。表1自由状态下的固有频率与初始振幅、振动周期数的关系初始振幅/格405060708090100平均10T/s19.8419.8420.1219.8119.8120.0619.8819.910/rad·s-13.1673.1673.1233.1723.1723.1323.1613.156其中固有圆频率由T20计算得出。平均值70071i=3.156rad/s。标准误差：)/(2018.0)(671271sradii。角频率的相对误差：%639.000639.0156.302018.00E。所以波尔摆自由状态下的固有圆频率为0=3.156×(1+0.639%)rad/s，且从表1可以验证0与初始振幅无关。2.观察现象，测量不同阻尼电压时的阻尼因数。步骤：①连接好电路，分别接入2V、4V、6V、8V的电压到阻尼线圈。②以初始振幅为表盘上的90格（已修正）。③自然放开波尔摆，用电子秒表测量5个周期T一共用去的总时间10t(s)及末振幅格数，记录数据到表2。其中当我们做至6V电压时，五个周期后的振幅已变得很小。因此我们调整8V阻尼下的测算时间为两个周期。每个电压阻尼测量三或四次。④计算不同阻尼电压下的阻尼因数β表2-1不同阻尼电压下的振动5个周期后末振幅格数及所用时间周期nT5T阻尼电压U/V24末振幅A/格707069.5303130nT9.919.789.9110.009.919.80β0.02540.02570.02610.10990.10760.1121周期nT5T2T阻尼电压U/V68末振幅A/格3322.5789nT9.7510.069.439.943.943.973.94β0.34880.33810.40370.36050.64820.60970.5844根据阻尼振动方程，可得阻尼因数计算式nAA0lnnT1。取平均后可得各阻尼电压下的阻尼因数。表2-2各阻尼电压下的阻尼因数β阻尼电压U/V2468阻尼因数β0.02570.10980.36280.6141阻尼振动的实验现象：摆开始振动后，振幅急剧减小，最后趋于零；而且所加阻尼电压越大，振幅减小越快。可以看到，随着阻尼电压增大，阻尼系数也会显著增大。实验中A0、n均改变，这样可能会增大误差，且无法计算标准误差。从数据中可以看出，当n取比较大且初始摆幅较小时，结果出现比较大的偏差。这是因为当n较大时，末状态摆幅将变小。导致相对误差较大。改进的办法是固定A0为90、n随着阻尼电压增大而适当减小，使得误差程度保持相对稳定，在相同的条件下测量几组数据再加以计算。3.观察共振现象，测量不同阻尼电压下的受迫振动的幅频特性和相频特性。步骤：①在实验2的基础上，分别接入6V和8V电压到阻尼线圈；②从15V到6V变化，将电压接入受迫振动电机;③测量不同电压下，振动10个周期后所用时间10T及波尔摆的末振幅格数，将其记录表3；④根据表格数据，计算各振动角频率ω。⑤画出幅频特性曲线：以0/为横坐标，振幅A为纵坐标。画出相频特性曲线：以0/为横坐标，相位为纵坐标。其中共振摆固有频率ω0=3.156rad/s，6V下阻尼因数β=0.3628s-1，2202arctan()，得出表3-1。表3-1各受迫电压下振动10T所用时间及末振幅格数阻尼电压6V阻尼电压U/V振幅范围A1/A2/格稳定振幅ΔA/2/格总时间10T角频率ωω/ω0相位差φ/°151/3.51.2511.595.4212131.717748-168.55462141/41.512.684.9551931.570087-166.15944130.5/4.5213.694.5896171.454251-163.3057212-1/5.53.2515.324.1012961.299523-156.5494611-3.5/85.517.413.6089521.143521-139.4828910-6/118.519.533.2171971.019391-99.485079-3.5/8.5622.312.8163090.892367-45.20798-1/63.526.972.3296940.738179-20.451871/5233.221.8913860.599299-12.134360.5/31.2543.501.444410.457671-7.58174以ω/ω0为横坐标，分别以振幅A和相位φ为纵坐标，做出幅频特性曲线和相频特性曲线。图26V阻尼电压下受迫振动的幅频特性曲线由图2可以看出，当ω/ω0=1，即驱动力频率在玻尔摆固有频率附近时，摆的振幅最大,此时即为共振。当驱动力频率分别在系统固有频率两侧减小或增大时，玻尔摆的振幅都在不断地减小。图36V阻尼电压下受迫振动的相频特性曲线ω/ω0ω/ω0A/格φ/°由图3可以看到：当远小于0时，的值趋向于零，即驱动力与摆振动趋于同相；随着的增大，的值不断减小，当接近0时，的值趋于2/，即受迫振动的位相落后于外加简谐力矩的位相趋于2/;当远大于0时，的值接近，即受迫振动的位相落后于外加简谐力矩的位相趋于。共振摆固有频率ω0=3.156rad/s，8V下阻尼因数β=0.6141s-1，2202arctan()，得出表3-2。表3-2各受迫电压下振动10T所用时间及末振幅格数阻尼电压8V阻尼电压U/V振幅范围A1/A2/格稳定振幅ΔA/2/格总时间10T角频率ωω/ω0相位差φ/°150.5/4.01.7511.285.57021.764956-162.009140.5/4.52.012.654.9669451.57381-157.476130/4.52.2514.254.4092531.397102-150.26612-0.5/52.7515.813.9741841.259247-140.08111-1.5/63.7517.353.6214321.147475-125.34410-2/74.519.153.2810371.039619-101.2959-2/74.522.532.7888080.883653-57.49078-1/63.526.812.3435980.742585-32.79147-0.5/4.52.533.221.8913860.599299-19.998360/4243.501.444410.457671