一元二次方程全章讲义

1九年级上册第二章一元二次方程一、知识点梳理：知识点一：一元二次方程的定义知识点二:开平方法解一元二次方程知识点三：因式分解法解一元二次方程知识点四：配方法解一元二次方程知识点五：一元二次方程的判别公式知识点六：韦达定理知识点七：二元一次方程应用题二、各知识点讲解：知识点一：一元二次方程的定义（一）知识点：1、只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程．2、判断一个方程是否为一元二次方程的依据（1）是一个整式方程（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2.这三个条件必须同时满足，缺一不可。3、一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项.一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.（二）、经典例题及相关练习例题1：判断下列方程是否为一元二次方程？(1)3x+2=5y-3(2)x2=4(3)3x2-5x=0(4)x2-4=(x+2)2(5)ax2+bx+c=0练习1、在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x2-1④3x2-5x=02、下列方程是一元二次方程的有__________。（1）x2+x1－5=0（2）x2－3xy+7=0（3）x+12x=42（4）m3－2m+3=0（5）22x2－5=0（6）ax2－bx=43、下列方程中，是关于x的一元二次方程的有___________.①x2＋2x＋y＝1②－5x2＝0③2x2－1=3x④（m2＋1）x＋m2＝6⑤3x3－x＝0⑥x2+1x－1=0例2：一元二次方程一般形式、各项系数及常数项（1）一元二次方程（x+1）2－x==3（x2－2）化成一般形式是.（2）把方程(1－3x)(x+3)=2x2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项,二次项系数,一次项,一次项系数及常数项.练习：1、把一元二次方程（x+2）（x－3）=4化成一般形式，得（）．A、x2+x－10=0B、x2－x－6=4C、x2－x－10=0D、x2－x－6=02、将方程3x2＝2x－1化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项系数可以是()A.3,2,－1B.3,－2,－1C.3,－2,1D.－3,－2,13、一元二次方程3x2－3x－2=0的一次项系数是________，常数项是_________．4、方程4x2=3x-2+1的二次项是,一次项是,常数项是5、把方程x(x+1)=4(x－1)+2化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项.例3：利用一元二次方程的定义解题（1）关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．练习1、已知（m+3）x2－3mx－1=0是一元二方程，则m的取值范围是。2、方程（2a—4）x2—2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？3、当m为何值时,方程(m+1)x4m-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程？34、关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？（2）若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,则k的取值范围是练习1、关于x的方程2322mxxxmx是一元二次方程，m应满足什么条件？2、a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=3x-（x+1）是一元二次方程？3、当m满足什么条件时，方程m（x2+x）=2x2－（x+1）是关于x的一元二次方程？（3）方程(m+2)mx+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则()A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m≠±2a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足3a+(b－4)2+|a-b+c|=0，求满足条件的一元二次方程.练习1、方程(m-2)mx+6mx+15=0是关于x的一元二次方程,则m为何值？2、a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足1a+(b－2)2+|a+b+c|=0，求满足条件的一元二次方程.（4）求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．练习1、求证：关于x的方程（m2-4m+20）x2+3m+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．2、求证：关于x的方程（m2+5m+7）x2+9mx+10=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．4知识点二：开平方法解一元二次方程（一）知识点1、如果方程的一边可化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，就可以用开平方法求解。开平方法的理论依据是平方根的定义。2、开平方法的理论依据是平方根的定义。3、适合用开平方法解的一元二次方程有三种类型：x2=m(m≥0);(x+m)2=n(n≥0);a(x+m)2=b(ab≥0且a≠0)（二）经典例题例1：x2=363x2=37x2-48=68x2+227=0练习x2=6256x2=51x2-128=-60x2+581=0例2：(x-1)2=5(2x-1)2=27(-3x-5)2=8(8x+9)2-169=0练习(x-7)2=63(6x-2)2=125(-5x-11)2=130(2x+32)2-899=0例3：9(x-3)2-49=025(-2x+4)2-16=0-3(x+9)2+9=0练习6(2x+5)2-9=08(6x+3)2-9=0-3(-5x-4)2+84=0.25)1(412x.063)4(22x(x－m)2=n．(n为正数)；例4x2+6x+9=229614xx-2x2+4x-2=-15练习x2+10x+25=20x2-8x+16=25-5x2-16x-564=-2例5：应用市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．练习1、一件商品原来售价100元，经两次连续降价，现在售价为81元,求每次降价的百分率？2、某化肥厂去年四月份生产化肥500吨，因管理不善，五月份的产量减少了10%，从六月份起强化管理，产量逐月上升，七月份达到648吨，那么该厂六，七两个月的平均增长率是多少？3、3、某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元．求A市投资“改水工程”的年平均增长率；知识点三:配方法解一元二次方程（一）知识点：1、定义:通过把一个一元二次方程配方成完全平方的形式，既的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。2、配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)先将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±q；如果q＜0,方程无实根．3、用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当（二）典型例题6类型一：二次项系数为1的一元二次方程04-322yy解：移项得：4322yy配方得：343322yy即：7)3(2y解方程得：73y即：73,7321yy例一：用配方法解下列关于x的方程（1）x2-8x+1=0（2）x2-2x-12=0练习：用配方法解下列关于x的方程（1）x2-14x+24=0（2）x2+6x-16=0（3）x2+12x-15=0（4）25220xx（5）类型二：二次项系数不为一的一元二次方程用配方法解一元二次方程：23580xx将二次项系数化为1即258033xx移项，得25833xx配方，得22255853636xx即25121636x开平方，得5121636x7移项，得11566x∴12813xx，例二：用配方法解下列关于x的方程（1）2x2+1=3x（2）3x2-6x+4=0（3）41x2-x-4=0（4）-3x2+5x=-2练习：用配方法解下列关于x的方程（1）2x2-43x-2=0（2）－3x2＋22x－24＝0（3）(4)类型三：换元法解一元二次方程例三：用配方法解下列关于x的方程①（1+x）2+2（1+x）-4=0②032222xx练习：①3（2x+1）2+5(2x+1)=0②（x-1）2+8（x-1）=9例1、配方法的应用（1）如果二次三项式9142mxx是一个完全平方式，那么m的值是（）（2）若x2-2（k+1）x+k2+5是一个完全平方式，求k的值。练习：1、如果51222mxmx是一个完全平方公式，则m_知识点四：因式分解法解一元二次方程（一）知识点：012632xx8依据A.B=0则A=0或B=0因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如22nbxmax，cxaxbxax，0222aaxx（二）典型例题例1．解方程（1）10x-4.9x2=0（2）x（x-2）+x-2=0(3)5x2-2x-14=x2-2x+34(4)(x-1)2=(3-2x)2例2．已知9a2-4b2=0，求代数式22ababbaab的值．例3、3532xxx的根为（）A25xB3xC3,2521xxD52x例4、若044342yxyx，则4x+y的值为。变式1：2222222,06b则ababa。变式2：若032yxyx，则x+y的值为。变式3：若142yxyx，282xxyy，则x+y的值为。例3、方程062xx的解为（）A.2321，xxB.2321，xxC.3321，xxD.2221，xx例4、解方程：04321322xx例6、已知023222yxyx,则yxyx的值为。9变式：已知023222yxyx,且0,0yx,则yxyx的值为。针对练习：★1、下列说法中：①方程02qpxx的二根为1x，2x，则))((212xxxxqpxx②)4)(2(862xxxx.③)3)(2(6522aababa④))()((22yxyxyxyx⑤方程07)13(2x可变形为0)713)(713(xx正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个★2、以71与71为根的一元二次方程是（）A．0622xxB．0622xxC．0622yyD．0622yy★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：★★4、若实数x、y满足023yxyx，则x+y的值为（）A、-1或-2B、-1或2C、1或-2D、1或25、方程：2122xx的解是。★★★6、已知06622yxyx，且0x，0y，求yxyx362的值。★★★7、方程012000199819992xx的较大根为r，方程01200820072xx的较小根为s，则s-r的值为。知识点四：公式法解一元二次方程（一）知识点：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式a