不等式的性质

要点一不等式的性质性质别名性质内容注意①对称性ab⇔ba⇔②传递性ab，bc⇒ac③可加性ab⇔a＋cb＋c可逆性质别名性质内容注意abc0⇒acbc④可乘性abc0⇒acbcc的符号⑤同向可加性abcd⇒a＋cb＋d同向性质别名性质内容注意⑥同向同正可乘性ab0cd0⇒acbd同向同正⑦可乘方性ab0⇒anbn(n∈N*，n≥2)⑧可开方性ab0⇒nanb(n∈N*，n≥2)同正不等式不等号是否传递①ab，bc⇒ac，⇒传递②a≥b，b≥c⇒a≥c≥，≥⇒≥传递③ab，b≥c⇒ac，≥⇒传递④a≥b，bc⇒ac≥，⇒不传递需要注意的：例1适当增加不等式条件，使下列命题成立：(1)若ab，则ac≤bc；(2)若ac2bc2，则a2b2；(3)若ab，则lg(a＋1)lg(b＋1)；(4)若ab，则log0.5(a-1)log0.5(b-1)；(5)若ab，cd，则adbc.ab-1c≠0c≤0ab1ab0且cd0练习1．下列不等式中，正确的个数是()①若ab，则acbc②若a·2cb·2c，则ab③若ab，c0，则algcblgc④若a|c|b|c|，则abA．0个B．1个C．2个D．3个C解析：对于①：ab，取c＝0⇒ac＝bc，①错；对于②：∵2c0，∴a·2cb·2c⇒ab，②对；对于③：ab，取c＝1，则algc＝blgc＝0，③错；对于④：a|c|b|c|⇒|c|0⇒ab，④对．综上，正确的个数有2个，故选C.答案：C变式练习1：已知3个不等式：①ab0；②－ca－db；③bcad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可组成几个正确命题？试选一个给出证明．①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①.提示：不对；由于ab0，∴ab0，∴1ab0，而ab，∴1ab·a1ab·b，即1b1a，故ab0⇒1a1b，而由1a1b推不出ab0.探究思考：ab0⇔1a1b对吗？为什么？例2判断下列不等关系是否成立，并说明理由．(1)若ac2bc2，则ab；(2)若ab，c0，则cacb；(3)若ab0，ac，则a2bc；(4)若ab，m∈N*，则ambm.变式练习2已知a，b，c∈R，且c≠0，则下列命题正确的是()A．如果ab，那么acbcB．如果acbc，那么abC．如果ab，那么1a1bD．如果ab，则ac2bc2D要点二利用不等式性质证明不等式利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质，并注意在解题中灵活准确地加以应用．例3(1)已知ab，ef，c0.求证：f－ace－bc.(2)若bc－ad≥0，bd0.求证：a＋bb≤c＋dd.【解】(1)∵ab，c0.∴acbc，∴－ac－bc.∵fe，∴f－ace－bc.(2)∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，bd0.∴ab≤cd，∴ab＋1≤cd＋1.∴a＋bb≤c＋dd.变式练习3已知ab0，cd0，e0.求证：ea－ceb－d.证明：∵cd0，∴－c－d0.∵ab0，∴a－cb－d0.∴01a－c1b－d.又∵e0，∴ea－ceb－d.要点三利用不等式性质求范围利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的问题，对于这类问题要注意：同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围，所以我们在解题时务必小心谨慎．先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围，这是避免犯错误的一条有效途径．整体法：例4已知12a60,15b36，则a－b的取值范围为________，ab的取值范围为________．【解析】∵15b36⇒－36－b－1512a60⇒－24a－b4515b36⇒1361b11512a60⇒13ab4.∴a－b，ab的取值范围分别为(－24,45)、(13，4)．【答案】(－24,45)(13，4)【方法总结】只有同向不等式两边才能相加，两边都是正数的同向不等式才能相乘，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，要注意变形的等价性．变式练习4已知：－π≤αβ≤π，求α－β2的范围．解：－π≤αβ≤π⇒－π≤απ－πβ≤π⇒－π≤－βπ⇒－2π≤α－β2π⇒－π≤α－β2παβ⇒α－β0⇒α－β20⇒－π≤α－β20.∴α－β2的范围为[－π，0)．例5已知函数f(x)＝ax2－c，且f(1)∈[－4，－1]，f(2)∈[－1,5]，求f(3)的取值范围．【解】方法1：(以a、c为桥梁，方程组思想)∵f(x)＝ax2－c.∴f1＝a－cf2＝4a－c⇒a＝13[f2－f1]－c＝43f1－13f2⇒f(3)＝9a－c＝－53f(1)＋83f(2)．－4≤f1≤－1⇒53≤－53f1≤203－1≤f2≤5⇒－83≤83f2≤403⇒－1≤f(3)≤20.∴f(3)的取值范围为[－1,20]．方法2：(待定系数法)设f(3)＝λf(1)＋μf(2)，∴9a－c＝λ(a－c)＋μ(4a－c)．∴9＝λ＋4μ－1＝－λ－μ，解得λ＝－53μ＝83.∴f(3)＝－53f(1)＋83f(2)．下同方法1，略．【方法总结】本题把所求的问题用已知不等式表示，然后利用同向不等式性质解决．本题常用待定系数法解决，设出方程，求出待定系数即可．变式练习5已知3≤a＋b≤4,1≤4a－2b≤2，求4a＋2b的取值范围．解：方法1：(方程组思想)令x＝a＋by＝4a－2b，则a＝13x＋16yb＝23x－16y.∴4a＋2b＝4(13x＋16y)＋2(23x－16y)＝83x＋13y，又3≤x≤41≤y≤2⇒8≤83x≤32313≤13y≤23⇒253≤83x＋13y≤343，∴4a＋2b的取值范围为[253，343]．方法2：(待定系数法)设4a＋2b＝m(4a－2b)＋n(a＋b)，∴4＝4m＋n2＝－2m＋n，解得m＝13n＝83.∴4a＋2b＝83(a＋b)＋13(4a－2b)．∵3≤a＋b≤4,1≤4a－2b≤2.∴8≤83(a＋b)≤323，13≤13(4a－2b)≤23，∴253≤4a＋2b≤343.即4a＋2b的取值范围是[253，343]．易错点多次使用不等式性质5，导致代数范围增大典例已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)满足1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的范围是()A．[3,12]B．(3,12)C．(5,10)D．[5,10]【错解】由于f(－2)＝4a－2b，要求f(－2)的范围，可先求a与b的范围．由f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，得1≤a－b≤2，①2≤a＋b≤4.②两式相加得32≤a≤3，又－2≤b－a≤1.③②式与③式相加得0≤b≤32.∴6≤4a≤12，－3≤－2b≤0.∴3≤4a－2b≤12.即3≤f(－2)≤12.故选A项．【错因分析】这种解法看似正确，实则使f(－2)的范围扩大了．事实上，这里f(－2)最小值不可能取到3，最大值不可能是12.由上述解题过程可知，当a＝32且b＝32时才能使4a－2b＝3，而此时a－b＝0，不满足①式．同理可验证4a－2b也不能等于12.出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来作变形，是非同解变形．以上解法为了求a，b的范围，多次应用了这一性质，使所求范围扩大了．【正解】∵f－1＝a－b，f1＝a＋b，∴a＝12[f1＋f－1]，b＝12[f1－f－1].∴f(－2)＝4a－2b＝2[f(1)＋f(－1)]－[f(1)－f(－1)]＝3f(－1)＋f(1)．∵1≤f(1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10，故选D项．纠错补练1已知－1≤a＋b≤1①，1≤a－2b≤3②，求a＋3b的取值范围．解：设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，解得λ1＝53，λ2＝－23.又－53≤53(a＋b)≤53，－2≤－23(a－2b)≤－23，∴－113≤a＋3b≤1.纠错补练2设x，y为实数，满足3≤xy2≤8,4≤x2y≤9，则x3y4的最大值是________．解：x2y2∈[16,81]，1xy2∈18，13，x3y4＝x2y2·1xy2∈[2,27]，则x3y4的最大值是27.答案：271．知识结构梳理2．规律方法总结(1)不等式的基本性质是不等式变形的依据，每一步变形都应有根有据，使用不等式的性质时要注意性质成立的条件，如不等式同向可加，但不可相减，不等式同向同正方可相乘．另外，还需注意它们的方向性，也就是说每条性质是否具有可逆性．不等式的两边同乘以(或同除以)一个含有字母的式子，一定要知道它的值是正还是负，并且不能为零，才能得到正确结论．(2)使用不等式的性质可以进行命题真假的判定，不等式的证明，解决简单的实际问题．(对应学生用书65页)1．不等式axb的解集不可能是()A．ØB．RC．(ba，＋∞)D．(－∞，－ba)解析：对于A：取a＝0，b＝2，则x∈Ø，故A可能．对于B：取a＝0，b＝－2，则x∈R，故B可能．对于C：取a0，则xba，故C亦可能．排除A、B、C，选D.答案：D2．下列不等式中，正确的个数是()①若ab，则acbc②若a·2cb·2c，则ab③若ab，c0，则algcblgc④若a|c|b|c|，则abA．0个B．1个C．2个D．3个C解析：对于①：ab，取c＝0⇒ac＝bc，①错；对于②：∵2c0，∴a·2cb·2c⇒ab，②对；对于③：ab，取c＝1，则algc＝blgc＝0，③错；对于④：a|c|b|c|⇒|c|0⇒ab，④对．综上，正确的个数有2个，故选C.答案：C3．已知a＋b0，b0，则a，b，－a，－b的大小关系为()A．ab－b－aB．a－b－abC．a－bb－aD．ab－a－b解析：∵a＋b0且b0，∴a0且a－b，b－a，对于－b与b，∵b0，∴－bb.由不等式传递性，知a－bb－a.答案：C4．已知a，b，c∈R，且ab0，则下列推理中正确的是()A．ab⇒am2bm2B.acbc⇒abC．a3b3⇒1a1bD．a2b2⇒ab解析：对于A，若m＝0，则不成立．对于B，若c0，则不成立．对于C，a3－b30⇒(a－b)(a2＋ab＋b2)0，∵a2＋ab＋b2＝(a＋b2)2＋34b20恒成立，∴a－b0，∴ab.又∵ab0，∴1a1b，∴C成立．对于D，a2b2⇒(a－b)(a＋b)0，不能说ab.答案：C5．设a＝lge，b＝lg2e，c＝lge，则()A．abcB．acbC．cabD．cba解析：∵0lge1，∴lge12lgelg2e.∴acb.答案：B