第二章-2.4.1向量在几何中的应用

填一填练一练研一研本课时栏目开关2.4.12.4.1向量在几何中的应用【学习要求】1．经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其它一些实际问题的过程．2．体会向量是一种处理几何问题的有力工具．3．培养运算能力、分析和解决实际问题的能力．【学法指导】由于向量涉及共线、夹角、垂直、长度等基本问题，而这些问题正是平面几何研究的对象，因此可以用向量来处理平面几何问题．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系.填一填练一练研一研本课时栏目开关2.4.1填一填·知识要点、记下疑难点1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔⇔.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b⇔⇔.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝＝.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝.a＝λbx1y2－x2y1＝0a·b＝0x1x2＋y1y2＝0a·b|a||b|x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22x2＋y2填一填练一练研一研本课时栏目开关2.4.1填一填·知识要点、记下疑难点2．直线的方向向量和法向量(1)直线y＝kx＋b的方向向量为，法向量为.(2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为，法向量为.(1，k)(k，－1)(B，－A)(A，B)填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.4.1探究点一直线的方向向量与两直线的夹角(1)直线y＝kx＋b的方向向量：如果向量v与直线l共线，则称向量v为直线l的方向向量．对于任意一条直线l：y＝kx＋b，在它上面任取两点A(x0，y0)，B(x，y)，则向量AB→＝(x－x0，y－y0)与直线l共线，即AB→为直线l的方向向量．由于(x－x0，y－y0)＝1x－x0(1，y－y0x－x0)＝1x－x0(1，k)，所以向量(x－x0，y－y0)与向量(1，k)共线，从而向量(1，k)是直线y＝kx＋b的一个方向向量．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.4.1(2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量当B≠0时，k＝－AB，所以向量(B，－A)与(1，k)共线，所以向量(B，－A)是直线Ax＋By＋C＝0的一个方向向量；当B＝0时，A≠0，直线x＝－CA的一个方向向量为(0，－A)，即(B，－A)．综上所述，直线Ax＋By＋C＝0的一个方向向量为v＝(B，－A)．例如：已知直线l：2x－y＋1＝0，在下列向量：①v1＝(1,2)；②v2＝(2,1)；③v3＝－12，－1；④v4＝(－2，－4)．其中能作为直线l方向向量的有：________①③④填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.4.1(3)应用直线的方向向量求两直线的夹角已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，它们的方向向量依次为v1＝(1，k1)，v2＝(1，k2)．当v1⊥v2，即v1·v2＝1＋k1k2＝0时，l1⊥l2，夹角为直角；当k1k2≠－1时，v1·v2≠0，直线l1与l2的夹角为θ(0°θ90°)．不难推导利用k1、k2表示cosθ的夹角公式：cosθ＝|v1·v2||v1||v2|＝|1＋k1k2|1＋k21·1＋k22.例如：直线x－2y＋1＝0与直线2x＋y－3＝0的夹角为________；直线2x－y－1＝0与直线3x＋y＋1＝0的夹角为________．90°45°填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.4.1探究点二直线的法向量与两直线的位置关系(1)直线Ax＋By＋C＝0的法向量：如果向量n与直线l垂直，则称向量n为直线l的法向量．因此若直线的方向向量为v，则n·v＝0.从而对于直线Ax＋By＋C＝0而言，其方向向量为v＝(B，－A)，则由于n·v＝0，于是可取n＝(A，B)，这时因为(B，－A)·(A，B)＝AB－AB＝0.直线的法向量也有无数个．(2)直线法向量的简单应用：利用直线的法向量判断两直线的位置关系：对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，它们的法向量分别为n1＝(A1，B1)，n2＝(A2，B2)．当n1∥n2时，l1∥l2或l1与l2重合．即A1B2－A2B1＝0⇔l1∥l2或l1与l2重合；当n1⊥n2时，l1⊥l2.即A1A2＋B1B2＝0⇔l1⊥l2.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.4.1例如：直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直，则a的值为________．解析n1＝(a＋2,1－a)，n2＝(a－1,2a＋3)，±1∵l1⊥l2，∴n1·n2＝(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝(a－1)(－a－1)＝0，∴a＝±1.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.4.1探究点三平面向量在几何中的应用用向量法处理有关直线平行、垂直、线段相等、点共线、线共点以及角度等问题时有独到之处，且解法思路清晰、简洁直观．其基本方法是：(1)要证明线段AB＝CD，可转化为证明|AB→|＝|CD→|.(2)要证明AB∥CD，只需证明存在一个不为零实数λ，使得AB→＝λCD→，且A、B、C、D不共线即可．(3)要证明A、B、C三点共线，只需证明AB→∥AC→或AB→∥BC→.(4)要证明AB⊥CD，只需证明AB→·CD→＝0，或若AB→＝(x1，y1)，CD→＝(x2，y2)，则用坐标证明x1x2＋y1y2＝0即可．(5)常用|a|＝a·a和cosθ＝a·b|a||b|处理有关长度与角度的问题．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.4.1例如，在平行四边形中有下列的结论：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的2倍．请用向量法给出证明．证明在平行四边形ABCD中，AC→＝AB→＋AD→，BD→＝AD→－AB→，∴AC→2＝(AB→＋AD→)2＝AB→2＋AD→2＋2AB→·AD→；BD→2＝(AD→－AB→)2＝AD→2＋AB→2－2AB→·AD→.∴AC→2＋BD→2＝2AB→2＋2AD→2.即|AC→|2＋|BD→|2＝2(|AB→|2＋|AD→|2)．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.4.1[典型例题]例1已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点．(1)求直线DE、EF、FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在直线方程．解(1)由已知得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，设M(x，y)是直线DE上任意一点，则DM→∥DE→.DM→＝(x＋1，y－1)，DE→＝(－2，－2)．∴(－2)×(x＋1)－(－2)(y－1)＝0，即x－y＋2＝0为直线DE的方程．同理可求，直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.4.1(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则CN→⊥AB→.∴CN→·AB→＝0.又CN→＝(x＋6，y－2)，AB→＝(4,4)．∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．小结(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．(2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为v＝(B，－A)，法向量n＝(A，B)．这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系、求两条直线的夹角时非常有用．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.4.1跟踪训练1在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线的方程．解AB→＝(3,4)，AC→＝(－8,6)，∠A的平分线的一个方向向量为：AB→|AB→|＋AC→|AC→|＝35，45＋－45，35＝－15，75.∵∠A的平分线过点A.∴所求直线方程为－75(x－4)－15(y－1)＝0.整理得：7x＋y－29＝0.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.4.1例2如图，▱ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，求证：AR＝RT＝TC.证明选{AB→，AD→}为基底．设AR→＝mAC→，AT→＝nAC→，则BR→＝AR→－AB→＝mAC→－AB→＝m(AB→＋AD→)－AB→＝(m－1)AB→＋mAD→，BE→＝AE→－AB→＝－AB→＋12AD→.∵BR→与BE→共线，∴(m－1)×12－(－1)×m＝0，∴m＝13.同理解得n＝23.∴AR＝RT＝TC.小结解答过程易出现无从下手的情况，导致此种情况的原因是不能灵活选定基底，无法集中条件建立几何元素与向量之间的联系．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.4.1跟踪训练2已知PQ过△OAB的重心G，设OA→＝a，OB→＝b.若OP→＝ma，OQ→＝nb，求证：1m＋1n＝3.证明选{a，b}为基底．延长OG交AB于M点，∵G为△OAB的重心，∴M为AB的中点，∴PG→＝OG→－OP→＝23OM→－OP→＝23×12(OA→＋OB→)－ma＝13(a＋b)－ma＝13－ma＋13b.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.4.1同理QG→＝13a＋13－nb.∵PG→与QG→共线，∴13－m×13－n－13×13＝0.化简得m＋n＝3mn，∴1m＋1n＝3.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.4.1例3如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于E，求BEEC的值．解方法一(基向量法)设BA→＝a，BC→＝b，|a|＝1，|b|＝2.a·b＝|a||b|cos60°＝1，BD→＝a＋b.设BE→＝λBC→＝λb，则AE→＝BE→－BA→＝λb－a.由AE⊥BD，得AE→·BD→＝0.即(λb－a)·(a＋b)＝0.解得λ＝25，∴BEEC＝2535＝23.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.4.1方法二以B为坐标原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，根据条件，设B(0,0)，C(2,0)，A12，32，D52，32.又设E(m,0)，则BD→＝52，32，AE→＝m－12，－32.由AE⊥BD，得AE→·BD→＝0.即52m－12－32×32＝0，得m＝45，所以BEEC＝4565＝23.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.4.1小结用向量方法解决平面几何问题时，将几何问题转化为向量问题是关键．对具体问题是选用向量几何法还是用向量坐标法是难点，利用几何法时，正确选取基底是解决问题的关键；利用向量的坐标法有时会给解决的问题带来方便．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.4.1跟踪训练3已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，PFCE为矩形．求证：PA＝EF且PA⊥EF.证明以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy(如图所示)，设正方形边长为1，|OP→|＝λ，则A(0,1)，P22λ，22λ，E1，22λ，F22λ，0，于是PA→＝－22λ，1－2