八年级数学下册二次根式知识点复习及练习

二次根式全章复习.的式子叫做二次根式形如a)0(a二次根式的定义:二次根式的性质:（双重非负性）.0,0aa)0(2aaaa(a≥0)-a(a≤0)==∣a∣2a还学习了二次根式的乘法和一种化简方法abba)0,0(baabbaa≥0,b≥01.将被开方数尽可能分解成几个平方数。2.应用baab化简二次根式的步骤：根式运算的结果中，被开方数应不含能开得尽方的因数或因式。运算的结果应该是最简二次根式或整式。3.将平方项应用化简.aa2216x例如：aabb0,0bababa0,0ba二次根式的除法公式：二次根式计算、化简的结果符合什么要求？（1）被开方数不含分母；分母不含根号；根号内不含小数。（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.若两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式。在进行根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，从而实现分母有理化。二次根式三个概念三个性质两个公式四种运算最简二次根式同类二次根式有理化因式0,0babaabbaba)0,0(ba1、2、加、减、乘、除知识结构--不要求，只需了解1、02aaa3、0aa2a)0(0aa2、第一部分二次根式的概念正数有两个平方根且互为相反数；0有一个平方根就是它0；负数没有平方根。1、平方根的性质：1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。试一试：说出下列各式的意义；116,81,0,,0.04;49观察：上面几个式子中，被开方数的特点？被开方数是非负数2、表示什么？a表示非负数a的算术平方根0:a即a(a≥0)表示非负数a的算术平方根，形如a(a≥0)的式子叫做二次根式。它必须具备如下特点：1、根指数为2；2、被开方数必须是非负数。想一想：10、-5、3853、(-2)2a(a＜0﹚、a2+0.1、-a(a＜0﹚是不是二次根式？注意：为了方便起见，我们把一个数的算术平方根也叫做二次根式。如13,2是不是二次根式?1a思考：不是,它是二次根式的代数式.定义：像,,这样表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二次根式。25002a3bs(0).aa形如的式子叫做二次根式2.a可以是数,也可以是式.3.形式上含有二次根号4.a≥0,≥0a5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.1.表示a的算术平方根(双重非负性)②a都是非负数.式子，，与算术平方根的共同点:S94S225S一般地，形如（a≥0）的式子叫做二次根式．a①都是形如的式子，a其中a为整式或分式，a叫做被开方式．1.判断下列各式是否是二次根式.2.下列各式一定是二次根式的是（）.1xA.21xB.2xC.1xD.C×√5(0)aa(0)aa38()()()()××例1:判断，下列各式中那些是二次根式？,10a,a,2a,04.0,5.83,04.0,2a,a定义：式子叫做二次根式.)0(aa不要忽略其中a叫做被开方式。题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.1.当_____时，有意义。xx33.求下列二次根式中字母的取值范围x315x解得-5≤x＜3解：0x-305x①②说明：二次根式被开方数不小于0，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式（组）≤34aa44a有意义的条件是.2.+由2x-1≥0，得即当x取大于或等于的实数时，式子有意义．2112x例2：x取什么实数时，二次根式有意义？12x解：二次根式有意义的条件是2x-1≥0．12x21x≥并且它的平方等于,a即).0(0aa≥≥总是一个非负数所以,)0(aa≥的算术平方根表示因为)0(，aaa≥即)0()(2≥aaa例3：要使x-2x-3有意义，字母x的取值必须满足什么条件？解：由x-2≥0，且x-3≠0,得x≥2且x≠3。想一想：一个正数的算术平方根是。零的算术平方根是。负数有没有算术平方根？正数0没有想一想：假如把题目改为：要使x-2x-1有意义，字母x的取值必须满足什么条件？x≥21、求下列二次根式中字母的取值范围：11aa2112233a求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数不小于零；②分母中有字母时，要保证分母不为零。2、x取何值时,下列二次根式有意义?xx3)2(1)1(1x0x为全体实数x0xxx1)4(4)3(23)5(x0x21)6(x0x3、若数轴上表示数x的点在原点的左边，则化简|3x+x2|的结果是（）12a1(7)12a3(8)||4xx-2XX≤3且X≠-44、求下列二次根式中字母的取值范围：(1)1a1(2)12a2(3)(3)ax5242125xxx2356xx1127（8）5、要使下列式子有意义，求字母Ｘ的取值范围（１）3x（２）125x（３）1xx303xx得：由25052xx得：由01001xxxx且得：由6、（１）（２）当时，（３），则Ｘ的取值范围是＿＿＿（４）若，则Ｘ的取值范围是＿＿＿2(3)____1x2(1)____x2(2)2xx2(7)17xx31x2x7x7.求式子有意义时X的取值范围。x51x－－＋105||011得5||5551xxxxxxx解:由题意得,求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数不小于零；②分母中有字母时，要保证分母不为零。小结一下?第二部分二次根式的性质非负数的算术平方根仍然是非负数。性质1：a≥0(a≥0)（双重非负性）引例：|a-1|+(b+2)2=0,则a=b=例4：已知a+2+|3b-9|+(4-c)2=0,求2a-b+c的值。解：∵a+2≥0、|3b-9|≥0、(4-c)2≥0，又∵a+2+|3b-9|+(4-c)2=0,∴a+2=0,3b-9=0,4-c=0。∴a=-2,b=3,c=4。∴2a-b+c=2×(-2)-3+4=-3。二次根式的性质（１）二次根式的双重非负性解析经常作为隐含条件，是解题的关键例已知，求x＋y的值130xy-++=解：∵≥０，≥０，1x-3y+130xy-++=＝０，＝０∴1x-3y+∴x＝１，y＝－３∴x＋y＝－２经常作为隐含条件，是解题的关键例已知，求x＋y的值130xy-++=解：∵≥０，≥０，1x-3y+130xy-++=＝０，＝０∴1x-3y+∴x＋y＝－２题型2:二次根式的非负性的应用.1.已知：+=0,求x-y的值.yx24x2.已知x,y为实数,且+3(y-2)2=0,则x-y的值为()A.3B.-3C.1D.-11x解：由题意，得x-4=0且2x+y=0解得x=4,y=-8x-y=4-(-8)=4+8=12D注意：几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0。初中阶段的三个非负数：≥０a||a2a(a≥０)200,0||00,0||00,0......abababababab+=?=+=?=+=?=②a都是非负数.1.形如（a≥0）的式子叫做二次根式．a①都是形如的式子，a其中a为整式或分式，a叫做被开方式．特点：)；0(0aa≥≥的算术平方根表示2.因为)0(，所以aaa≥);0()(2≥aaa).0()(2≥aaa二次根式的性质（２）试一试（3）计算:)0(,2aaa想一想等于什么?请举例验证.02aa=23225204.0==3520.04性质２：试一试（4）把下列各数写成平方的形式：3=，232522504.0204.024利用这个式子，我们可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式。如4=。根据等式的定义，可得。)0(,2aaa)0(,2aaa我们已经得到:例3：计算：解：;)16)(1(2)16)(1(2;)73)(2(2)73)(2(2;)85.0)(3(2)85.0)(3(2).5()5)(4(2≥aa=16；;6379)7(322××;85.0)85.0(2)5)(4(a2.)5(≥a=a＋5计算：;)12)(1(2;)54)(2(2;)6.3)(3(2)1)(4(2x212803.6x2+1把式子)0()(2≥aaa反过来，就得到).0()(2≥aaa把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5（2）3.4（3）（4）x（x≥0）16aa面积a5271232-32()(0)aaa2)72(2)312(2)5(2)32(题型3：利用)0()(2aaa进行分解因式例：分解因式：2)1(2x2232)2(yx22)2(22xxxyxyxyx3232)3()2(222(0)aaa反过来就是2(0)aaa把下列各式中根号外的正因式移进根号内(1)(2)324a(3)1xx(4)1xx根号外的负因式不能随意移进根号内，在移进根号内之前一定要先判断是否为非负因式。练习．在实数范围内分解因式（1）（2）1532x2242ba算一算：02=；22=；（-2）2=；32=；（-3）2=。想一想：a2等于什么呢？性质3：当a≥0时，a2=；当a＜0时，a2=。也就是说：a2=。a-a|a|02233算一算：(1)（-9）2(2)(13)2(3)64(4)(x2+1)2二次根式的性质（３）由,可以得。02aaa02aaa利用这个式子，可以把任何一个非负数写成带有“”的形式，例：,25581.09.0a0-a2a(a0)(a=0)(a0)a归纳例求下列二次根式的值22(1)(3)(2)21(3)xxxp--+=-2(3)|3|pp-=-解：(1)∵30p-∴2(3)3pp-=-(2)2221(1)|1|xxxx-+=-=-当x＝时，x－１０3-221113xxx-+=-=+∴∴当x＝时，22113xx-+=+3-2(0)()aaaaa2)0(aa)0(aa你的理由是什么？一样吗？）与（22aa2(0))(aaa2aa)0(aa)0(aa22(）与注意区别aa补充：分别说出下列各式成立的a的取值范围：2(1)()aa2(2)()aa2(3)(2)2aa∵x0,∴4x＜0,例5:已知:x0,化简:216x2216x(4)4:xx解∴原式=-4x3、二次根式具有哪些性质？1、什么叫做二次根式？形如a(a≥0)的式子叫做二次根式。2、二次根式有哪两个形式上的特点？（1）根指数为2；（2）被开方数必须是非负数。课堂小结性质1：a≥0(a≥0)（双重非负性）性质2：(a)2=a(a≥0)性质3：当a≥0时，a2=a；当a＜0时，a2=-a。也就是说：a2=|a|。第三部分二次根式的乘除法复习归纳2()a二次根式的性质：（a≥0）（1）（2）a-a当a≥0时，=；当a≤0时，=.|a|2aa复习归纳二次根式的性质：（3）（4）abbababa（a≥0，b＞0）（a≥0，b≥0）回顾:你会计算吗?(1)(2)104.0303.0有简便的方法吗?根据什么?积和商的二次根式的性质:反过来:)0,0(),0,(babababoaabba二次根式乘除运算法则)0,0(ba)0,0(babababaab,二次根式相乘：被开方数相乘，根指数不变；化简。二次根式的运算（乘除运算）:归纳小结baab（a≥0，b≥0）baab（a≥0，b＞0）abmnbnam（a≥0，b≥0）根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数。二次根式的乘法：