2017年高考真题全国2卷理科数学(附答案解析)

绝密★启用前2017年普通高等学校招生统一考试理科数学试题卷一、单选题1．复数31ii++等于()A．12i+B．12i−C．2i+D．2i−2．设集合{}1,2,4A=，{}240Bxxxm=−+=．若{}1AB∩=，则B=()A．{}1,3−B．{}1,0C．{}1,3D．{}1,53．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A．90πB．63πC．42πD．36π5．设,xy满足约束条件2+330233030xyxyy−≤−+≥+≥，则2zxy=+的最小值是()A．15−B．9−C．1D．96．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩8．执行如图所示的程序框图，如果输入的1a=−，则输出的S=A．2B．3C．4D．59．若双曲线C:22221xyab−=（0a，0b）的一条渐近线被圆()2224xy−+=所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2B．3C．2D．23310．已知直三棱柱111CCΑΒ−ΑΒ中，C120∠ΑΒ=o，2ΑΒ=，1CCC1Β==，则异面直线1ΑΒ与1CΒ所成角的余弦值为（）A．32B．155C．105D．3311．若2x=−是函数21()(1)exfxxax−=+−的极值点，则()fx的极小值为（）．A．1−B．32e−−C．35e−D．112．已知ABC∆是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC⋅+uuuvuuuvuuuv的最小值是A．2−B．32−C．3−D．6−二、填空题13．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=____________．14．函数()23s34fxinxcosx=+−（0,2xπ∈）的最大值是__________．15．（2017新课标全国II理科）等差数列{}na的前n项和为nS，33a=，410S=，则11nkkS==∑____________．16．已知F是抛物线C:28yx=的焦点，Μ是C上一点，FΜ的延长线交y轴于点Ν．若Μ为FΝ的中点，则FΝ=____________．三、解答题17．的内角的对边分别为,,abc，已知2sin()8sin2BAC+=．（1）求cosB；（2）若6ac+=，ABC∆面积为2，求b．18．（2017新课标全国II理科）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）．其频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：，22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++19．如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底ABCD，o1,90,2ABBCADBADABC==∠=∠=E是PD的中点．（1）证明：直线//CE平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为o45，求二面角MABD−−的余弦值．20．设O为坐标原点，动点M在椭圆C22:12xy+=上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足2NPNM=uuuvuuuuv.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线3x=−上，且1OPPQ⋅=uuuvuuuv.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.21．已知函数()2ln,fxaxaxxx=−−且()0fx≥.（1）求a；（2）证明：()fx存在唯一的极大值点0x，且()2202efx−−.22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为cos4ρθ=．（1）M为曲线1C上的动点，点P在线段OM上，且满足16OMOP⋅=，求点P的轨迹2C的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为2,3π，点B在曲线2C上，求ABO∆面积的最大值．23．已知0a，0b，332ab+=，证明：(1)()()554abab++≥；(2)2ab+≤.参考答案1．D【解析】【分析】根据复数的除法运算得到结果.【详解】()()()()313+i421112iiiiii+−−==++−＝2－i.故选D.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，复数常考的还有几何意义，z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量OZuuur都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作z．2．C【解析】∵集合{}124A，，=，{}2|40Bxxxm=−+=，{}1AB∩=∴1x=是方程240xxm−+=的解，即140m−+=∴3m=∴{}{}{}22|40|43013Bxxxmxxx=−+==−+==，，故选C3．B【解析】【详解】设塔顶的a1盏灯，由题意{an}是公比为2的等比数列，∴S7=()711212a−−=381，解得a1=3．故选B．4．B【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为2213634632Vπππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B.点睛:（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．5．A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】作出2330233030xyxyy+−≤−+≥+≥表示的可行域，如图，由23302330xyxy+−=−+=可得63xy=−=−，将2zxy=+变形为2yxz=−+，平移直线2yxz=−+，由图可知当直2yxz=−+经过点()6,3−−时，直线在y轴上的截距最小，最小值为()26315z=×−−=−，故选A.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6．D【解析】4项工作分成3组,可得：24C=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：36363A×=种．故选D.7．D【解析】【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案【详解】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了故选：D．【点睛】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．8．B【解析】【详解】阅读流程图，初始化数值1,1,0akS=−==.循环结果执行如下：第一次：011,1,2Sak=−=−==；第二次：121,1,3Sak=−+==−=；第三次：132,1,4Sak=−=−==；第四次：242,1,5Sak=−+==−=；第五次：253,1,6Sak=−=−==；第六次：363,1,7Sak=−+==−=，结束循环，输出3S=.故选B.点睛:算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.求解时，先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，如：是求和还是求项.9．A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0xyabab−=的渐近线方程为0bxay±=，圆心()2,0到渐近线距离为22213d=−=，则点()2,0到直线0bxay+=的距离为222023babdcab+×===+，即2224()3cac−=，整理可得224ca=，双曲线的离心率2242cea===．故选A．点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式cea=；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．10．C【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCDABCD−，则所求角为21111,2,21221cos603,5BCDBCBDCDAB∠==+−×××°===Q，易得22211CDBDBC=+，因此111210cos55BCBCDCD∠===，故选C．平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．11．A【解析】由题可得()()()()121212121xxxfxxaexaxexaxae−−−=+++−=+++−′，因为()20f′−=，所以1a=−，()()211xfxxxe−=−−，故()()212xfxxxe−−′=+，令()0fx′，解得2x−或1x，所以()fx在()(),2,1,−∞−+∞上单调递增，在()2,1−上单调递减，所以()fx的极小值为()()1111111fe−=−−=−，故选A．【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．12．D【解