2014年全国统一考试新课标II卷理科数学试卷及答案

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理科数学（新课标卷Ⅱ）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N=2|320xxx≤，则MN=()A.｛1｝B.｛2｝C.｛0，1｝D.｛1，2｝2.设复数1z，2z在复平面内的对应点关于虚轴对称，12zi，则12zz（）A.-5B.5C.-4+iD.-4-i3.设向量a,b满足|a+b|=10，|a-b|=6，则ab=()A.1B.2C.3D.54.钝角三角形ABC的面积是12，AB=1，BC=2，则AC=()A.5B.5C.2D.15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A.0.8B.0.75C.0.6D.0.456.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A.1727B.59C.1027D.137.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S=（）A.4B.5C.6D.78.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=A.0B.1C.2D.39.设x,y满足约束条件70310350xyxyxy≤≤≥，则2zxy的最大值为（）A.10B.8C.3D.210.设F为抛物线C:23yx的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A.334B.938C.6332D.9411.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（）A.110B.25C.3010D.2212.设函数3sinxfxm.若存在fx的极值点0x满足22200xfxm，则m的取值范围是（）A.,66,B.,44,C.,22,D.,14,第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题13.10xa的展开式中，7x的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)14.函数sin22sincosfxxx的最大值为_________.15.已知偶函数fx在0,单调递减，20f.若10fx，则x的取值范围是__________.16.设点M（0x,1），若在圆O:221xy上存在点N，使得zxxk∠OMN=45°，则0x的取值范围是________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列na满足1a=1，131nnaa.（Ⅰ）证明12na是等比数列，并求na的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112naaa…+.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积.19.（本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：121niiiniittyybtt，ˆˆaybt20.（本小题满分12分）设1F,2F分别是椭圆C:222210yxabab的左,右焦点，M是C上一点且2MF与x轴垂直，直线1MF与C的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN的斜率为34，求C的离心率；（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且15MNFN，求a,b.21.（本小题满分12分）已知函数fx=2xxeexzxxk（Ⅰ）讨论fx的单调性；（Ⅱ）设24gxfxbfx，当0x时，0gx,求b的最大值；（Ⅲ）已知1.414221.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，有途高考网同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）ADDE=22PB23.（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos，0,2.zxxk（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线:32lyx垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标.24.（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲设函数fx=1(0)xxaaa（Ⅰ）证明：fx≥2；（Ⅱ）若35f，求a的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题（1）D（2）A（3）A（4）B（5）A（6）C（7）D（8）D（9）B（10）D（11）C（12）C二、填空题（13）12（14）1（15）（-1,3）（16）[-1，1]三、解答题（17）解：（1）由131mmaa得1113().22mmaa又113a22，所以，{12ma}是首项为32，公比为3的等比数列。12ma=32m，因此{na}的通项公式为ma=312m（2）由（1）知1ma=231m因为当n1时，31m123,m所以，1113123mm于是，11211111133mmaaa=313(1)232m所以，1211132maaa（18）解：（1）连结BD交AC于点O,连结EO因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为的PD的中点，所以EOPBEO平面AEC,PB平面AEC，所以PB平面AEC（2）因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，AP为单位长，建立空间直角坐标系，则A—xyz,则D(0,3,0),则E(0,32,12),AE=(0,32,12)设B(m,0,0)(m＞0)，则C（m,3，0）设n(x,y,z)为平面ACE的法向量，则{1100nACnAE即{0102323mxyyz可取1n=（3m,-1,3）又1n=（1,0,0）为平面DAE的法向量，由题设12cos(,)nn=12，即2334m=12，解得m=32因为E为PD的中点，所以三棱锥E-ACD的高为12，三棱锥E-ACD的体积为V=131233212=3819解：（1）由所得数据计算得t=17（1+2+3+4+5+6+7）=4，y=17(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.37211()itt=9+4+1+0+1+4+9=287111()()ittyy=(-3)（-1.4）+（-2）（-1）+（-1）（-0.7）+00.1+10.5+20.9+31.6=14，b=71117211()()()iittyytt=1428=0.5a=y-bt=4.3-0.54=2.3所求回归方程为y=0.5t+2.3(Ⅱ)由（Ⅰ）知，b=0.50,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.将2015年的年份代号t=9代入（1）中的回归方程，得y=0.5×9+2.3=6.8故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元（20）解：（Ⅰ）根据c=以及题设知M（c，），2=3ac将=-代入2=3ac，解得=，=-2（舍去）故C的离心率为（Ⅱ）由题意，原点O的的中点，M∥y轴，所以直线M与y轴的交点D是线段M的中点，故=4，即①由=得=设N（x，y），由题意可知y0,则即代入方程C，得+=1②将①以及c=代入②得到+=1解得a=7，a=7，（21）解（Ⅰ）+-2≥0，等号仅当x=0时成立，所以f（x）在（—∞，+∞）单调递增（Ⅱ）g（x）=f(2x)-4bf(x)=--4b(-)+(8b-4)x(x)=2[++]=2(+)(+)（1）当b2时，g’(x)0,等号仅当x=0时成立，所以g(x)在(-,+)单调递增，而g(0)=0，所以对任意x0,g(x)0;（2）当b2时，若x满足，2xxee2b-2即0xln(b-1+22bb)时g’(x)0,而g（0）=0,因此当0Xln(b-1+22bb)时，g(x)0综上，b的最大值为2（3）由（2）知，g(ln2)=32-22b+2(2b-1)ln2当b=2时，g(ln2)=32-42+6ln20,ln2823120.6928当b=324+1时，ln(b-1+22bb)=ln2g(ln2)=32-22+(32+2)ln20in2182280.693(22)解：（1）连结AB,AC由题设知PA=PD,故PAD=PDA因为PDA=DAC+DCAPAD=BAD+PABDCA=PAB所以DAC=BAD,因此=（2）由切割线定理得2PA=PB*PC因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB由相交弦定理得AD*DE=BD*DC所以，AD*DE=22PB(23)解：（1）C的普通方程为+=1(0)可得C的参数方程（t为参数，0（Ⅱ）设D（1+cost,sint).由（Ⅰ）知C是以G（1,0）为圆心，1为半径的上半圆。因为C在点D处的切线与I垂直，所以直线GD与I的斜率相同。tant=，t=π/3.故D的直角坐标为（1+cosπ/3，sinπ/3）,即（3/2,/2）.(24)解：（Ⅰ）由a0,有f（x）=｜x+1/a｜+｜x-a｜≥｜x+1/a-(x-a)｜=1/a+a≥2.所以f（x）≥2.（Ⅱ）f（x）=｜3+1/a｜+｜3-a｜.当a＞3时，f（3）=a+1/a，由f（3）＜5得3＜a＜当0a≤3时，f（3）=6-a+，f（3）5得a≤3综上所诉，a的取值范围为（）