漫谈正项级数的收敛性及收敛速度nnnaaaa211称为无穷级数。当0na时,此级数称为正项级数。记nnaaaS21,,2,1n,则}{nS为部分和数列。级数1nna的敛散性是通过数列}{nS的敛散性来定义。显然,级数1nna时,有0limnna。因此,0limnna时,必有级数1nna发散。但是0limnna未必有1nna收敛。只有当无穷小na的阶高到一定的程度时,1nna才收敛。可以证明:几何级数1nnq,当1||q时收敛;当1||q时发散。p-级数11npn,当1p时收敛;当1p时发散。由p-级数11npn的敛散性及比较判别法,可以看出,当na趋于0的速度快于n1时,级数1nna收敛;而当na趋于0的速度不快于n1时,级数1nna发散。因而,无穷小n1是衡量级数1nna敛散性的一把“尺子”。可是,这把“尺子”有点粗糙了。事实上,尽管无穷小nnln1趋于0的速度远远快于n1,但是级数1ln1nnn仍然发散。可以证明,级数1ln1npnn,当1p时收敛;当1p时发散。于是,无穷小nnln1是衡量级数敛散性的一把精度较高的一把新“尺子”:当na趋于0的速度快于nnln1时,级数1nna收敛;而当na趋于0的速度不快于nnln1时,级数1nna发散。可是,马上又面临新问题:无穷小nnnlnlnln1趋于0的速度远远快于nnln1,但是1lnlnln1nnnn仍然发散级数。于是需要更为精细的判断级数敛散的“尺子”。这样,我们会得到一系列判断级数敛散的“尺子”:n1,nnln1,nnnlnlnln1。这些“尺子”可以无限的精细,一直进行下去。实际上,按这种方式,只能够找到越来越精细的“尺子”,但是永远找不到最为精细的“尺子”——“没有最好,只有更好”。由几何级数的11nnq的敛散性,可以看出,粗略的讲,当n充分大时,正项级数的后一项小于前一项时,该级数就收敛,否则就发散。在此基础上,有了判断正项级数敛散性的比值(达朗贝尔)判别法和根值(柯西)判别法:若nnnaa1lim(nnnlim),则当1时,正项级数1nna收敛;当1时,正项级数1nna发散;而当1时,判别法失效。这两种判别法具有明显的优势:仅需要级数自身项的性质,不需要比较级数,使用起来较为方便。然而它们是基于几何级数的判别敛散性的“尺子”,其精度远比基于p-级数的“尺子”粗糙的多。事实上,对于11nn,11nn,121nn可计算1,因此,比值和根值判别法失效。但是,根据比较判别法和p-级数的敛散性,前两个级数发散,后一个级数收敛。比值和根值判别法的本质是比较判别法,与之相比较的是几何级数11nnq。在判定级数收敛时,要求级数的通项受到nq(10q)的控制。而在判定级数发散时,则是根据其一般项不趋于0。由于二者相去甚远。因此判别法在许多情况下都会失效,即便对p-级数11npn也无能为力。为了弥补上述比值和根植判别法的局限性,我们有拉阿伯判别法:设raannnn1lim1,则当1r时1nna收敛;当1r时1nna发散。虽然拉阿伯判别法有时可以处理比值和根植判别法失效的级数,如p-级数等,但是对于11lim1nnnaan时,阿伯判别法仍然失效。例如,对于1ln1npnn成立11lim1nnnaan,但是由积分判别法可知,1ln1npnn当1p时收敛;当1p时发散。事实上还可以建立比阿伯判别法更有效的判别法,如,Bertrand判别法:设raannnnn11lnlim1,则当1r时1nna收敛;当1r时1nna发散。但是,当1r时,该判别法有失效了。这种逐次建立更有效的判别法的过程是无限的。每次都能得到新的适用范围更广的判别法。下面给出两个与级数收敛性及速度有关的有趣例子。问题1:曾经有同学向我提出这样一个问题:假设汽车速度1v快于自行车的速度2v,而汽车在自行车的后方s,则显然经过时间21vvsT后,汽车就会追赶上自行车。但是,他有这样一个疑问?当汽车前进路程s到达自行车原来所在的位置时,即经过了时间11vst时,自行车又前进了路程svvtvs12121。当汽车前进路程1s,即又经过了121112vvvsvst时,自行车又前进了路程svvtvs212222,这样一直下去,直观上感觉,汽车总是差一点才能追赶上自行车。问题出在哪里呢?事实上该问题与无穷级数的收敛性有关。汽车追赶第n段路程化肥的时间为1121nnvvvst,此时,汽车与自行车相距路程为svvsnn12,汽车追赶自行车花费的时间的总和是一个无穷级数111211nnnnvvvstt,它是一个公比)1(12vvq的几何级数,因此,和为Tvvsvvvst21121/1/。所以,经过时间21vvsT后,汽车就会追赶上自行车。问题2:爬金箍棒的蚂蚁的故事(选自数学趣题与妙解):这天,孙悟空闲暇无时,他把他的金箍棒变成了10cm长的小棒,立在地上。这是一只蚂蚁来到棒的底部,沿着小棒往上爬,孙悟空眼睛一亮,心想“要爬,没那么容易!”只听他叫了一声“变”,地上的棒应声长了起来,眼看越长越高,而那只蚂蚁似乎什么都没有发现,还是慢悠悠地一如既往地往上爬。如果蚂蚁始终沿铅垂线匀速上爬,每分钟上升1cm。在孙悟空叫变时,已经爬至高1cm处,此后,棒的各部分每个时刻都是匀速地变长,每经1分钟,棒就增长10cm,即第一分钟末,高10cm,第二分钟末,高20cm,第三分钟末,高30cm,...请问最终蚂蚁能够爬到棒的顶端吗?不少人会说,由于蚂蚁爬行的速度不变,而棒的长度不停的变长,蚂蚁永远不会爬到棒的顶端。这样他就忽略了一个事实:由于棒的各部分均匀变长,因而每个时刻,尚未爬过的、正在爬过的和已经爬过的部分都同样要变长的。第一分钟,蚂蚁爬过了1cm,为棒高的101;到第二分钟末,棒高伸长为20cm,而爬过的1cm,也变成了2cm,因而,仍是棒高的101且以后始终保持为棒高的101。如果第一分钟末到第二分钟末这段时间内,新爬过的部分没有变长,则第二分钟内爬过的部分是棒高的201,但实际上,新爬过的部分也在变长,因而第二分钟内爬过的高度要大于棒高的201并且这一小段在以后棒变高的过程中,始终要大于棒高的201。同理,第三分钟内,蚂蚁爬过的高度大于棒高的301,...。若棒高为L,则在第n分钟末,蚂蚁爬过的高度将大于)131211(10nL。于是,问题转化为:是否存在n,使得10131211n。这当然可以做到,因为调和级数11nn是发散级数。A1B1110A1’B1’B2220