平行四边形的专题应用

专题平行四边形中的简单证明一、平行四边形的性质1．在平行四边形ABCD中，将ABC沿AC对折，使点B落在B’处，AB’和CD相交于点O，求证：OD=OB’。2．如图，在ABCD中，点E、F是AC上两点，且AE=CF，求证：EBFFDE3．如图，在ABCD的纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处。（1）求证：AE=AF；（2）求证：ABEAGF二、平行四边形的判定4．如图，在ABCD中，E，F分别为AD，BC上两点，且BF=DE，连AF、CE、BE、DF、AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点，求证：四边形FMEN为平行四边形。5．如图，AF与BE互相平分，EC与DF互相平分，求证：四边形ABCD为平行四边形。6．如图所示，已知E为ABCD中DC边延长线上一点，且CE=DC，连AE分别交BC，BD于F，G，连AC交BD于O点，连OF。（1）求证：AF=EF；（2）DE=4OF专题平行四边形中的面积问题【方法归纳】：充分利用平行四边形的性质及常用的数学思维方法解决与面积有关的问题一、方程的思想1．如图，在ABCD中，AEBC于E，AFCD于F，已知AE=4，AF=6，ABCD的周长为40，求ABCD的面积。2．如图，E是ABCD内任一点，若6ABCDS，则ABECDESS______二、分类讨论的思想3．在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于CD于点F，若AB=5，BC=6，则CE+CF的值为（）A．113112B．113112C．113112或113112D．113112或312三、数形结合的思想4．基本图形：如图，在ABCD中，AC，BD交于点O，过点O任作直线分别交AD，BC于E，F。基本结论：（1）图中的全等三角形有：____________（2）图中相等的线段有：____________（3）与四边形ABEF周长相等的四边形是_____________（4）过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积相等的两部分，即ABFES四_____应用：如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为平行四边形，A（5,0），C（1,4），过点P（0，-2）的直线分别交于OA，BC于M、N，且将OABC的面积分成相等的两部分，求点M、N的坐标。专题构造三角形中位线【方法归纳】：中点问题的处理方法较多，构造三角形中位线是常用方法之一一、连接两点构造三角形中位线1．如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边的中点，试判断四边形EFGH的形状并予以证明。2．如图，在ABC中，2BA，CDAB于D，E、F分别为AB、BC的中点。求证：DE=DF。3．如图，点P是四边形ABCD的对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，45CBD，105ADB，探究EF与PF之间的数量关系，并证明。4．如图，点B为AC上一点，分别以AB、BC为边在AC同侧作等边ABD和等边BCE，点P、M、N分别为AC、AD、CE的中点。（1）求证：PM=PN；（2）求MPN的度数二、利用角平行线+垂直构造中位线5．如图，在ABC中，点M为BC的中点，AD为ABC的外角平分线，且ADBD，若AB=12，AC=18，求MD的长。6．如图，在ABC中，AB=BC，90ABC，F为BC上一点，M为AF的中点，BE平分ABC，且EFBE，求证：CF=2ME三、倍长构造三角形中位线7．如图，在ABC中，90ABC，BA=BC，BEF为等腰直角三角形，90BEF，M为AF的中点，求证：ME=12CF。四、取中点构造三角形中位线8．如图，四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连BD，若AB=10，CD=8，求MN的取值范围。9．如图，在ABC中，90C，CA=CB，E、F分别为CA、CB上一点，CE=CF，M、N分别为AF、BE的中点，求证：AE=2MN。10．如图，点P为ABC的边BC的中点，分别以AB、AC为斜边作RtABD和RtACE，且BADCAE，求证：PD=PE。专题矩形中的折叠与勾股定理1．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在BD上的A’处，求AE的长。2．将一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F均在BD上），折叠分别为BH、DG。（1）求证：BHEDGF（2）若AB=6，BC=8，求FG的长。3．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿EF折叠，折痕为EF，使点C落在A点处，点D落在点G处。（1）求证：AE=AF；（2）求AE的长；（3）求EF的长。4．（1）操作发现：如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE，且点G在矩形ABCD内部，小明将BG延长交DC于边F，认为GF=DF，你同意吗？请说明理由。（2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求ADAB的值；（3）类比探究：保持（1）中的条件不变，若DC=nDF，直接写出ADAB的值：______专题构造斜边上的中线【方法归纳】：遇到直角三角形斜边中点时，往往连斜边上的中线基本图形：已知ABD和ABC都是Rt，90ADBACB基本结论：图1中，若OA=OB，则OA=OB=OD，若OA=OD，则OB=OD，若OB=OD，则OA=OD。图2中，若OA=OB，则OA=OD=OC=OB，图3中，若OA=OB，则OA=OD=OC=OB。1．如图，BCD和BCE中，90BDCBEC，O为BC的中点，BD，CE交于A，120BAC，求证：DE=OE2．如图，在ABC中，BDAC于D，CEAB于E，点M、N分别是BC，DE的中点，（1）求证：MNDE；（2）连ME，MD，若60A，求MNDE的值。3．如图，在ABC中，AB=BC，90ABC，点E、F分别在AB，AC上，且AE=EF，点O，M分别为AF，CE的中点，求证：（1）OM=12CE；（2）OB=2OM4．如图，CDE中，135CDE，CBDE于B，EACD于A，求证：CE=2AB。专题灵活运用菱形的性质1．如图，菱形ABCD中，点E为AC上一点，且DEBE（1）求证：ADEABE（2）若60DAB，AD=23，求DE的长。2．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD上的一点，折痕的一段G点在边BC上，另一端F在AD上，AB=8，BG=10.（1）求证：四边形BGEF为菱形；（2）求FG的长。3．如图，四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，点EF在BD上，已知120BAD，30EAF，求ABAE的值。4．如图，菱上形ABCD的边长为2，且120ABC，点E是BC的中点，点P为BD上一点，且PCE的周长最小、（1）求ADE的度数；（2）在BD画出点P的位置，并写出作法；（3）求PCE周长的最小值。5．如图，在RtABC中，90ACB，AC=4，BC=3，D为AB上一点，以CD、CB为边作菱形CDEB，求AD的长。专题灵活运用菱形的判定1．如图，在ABCD中，E为BC上一点，连AE、BD，且AE=AB，（1）求证：ABEEAD（2）若2AEBADB，求证：四边形ABCD是菱形2．如图，在ABC中，AD是边BC上的中线，AE//BC，DE//AB，DE与AC交于点O，连CE.（1）求证：AD=EC；（2）若90BAC，求证：四边形ADCE是菱形。3．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F（1）求证：AFDCFE（2）若AB//CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使EFDBCD，并说明理由。4．如图，点E为AB上一点，以AE、BE为边在AB同侧作等边AED和等边BEC，点P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点。（1）判断四边形PNMQ的形状，并证明；（2）NPQ的度数为________（直接写出结果）专题正方形中的简单证明【方法归纳】：运用正方形的边、角、对角线的性质进行简单的线段关系、角度关系及位置关系的证明。1．如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别在OA、OB上，且OM=ON。（1）求证：①BM=CN；②CNBM（2）若M、N分别在OA、OB的延长线上，则（1）中的两个结论仍成立吗？请说明理由。2．如图，E是正方形ABCD中AD边上的中点，BD，CE相交于点F。（1）求证：EB=EC；（2）求证：DAFDCF（3）求证：AFBE（4）过F作FG//BE交BC于G，求证：FG=FC。3．如图，已知正方形ABCD，点P在对角线BD上，PEPA交BC于E，PFBC，垂足为F点。（1）求证：PECBAP（2）求证：EF=FC；（3）求证：DP=2CF；4．正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角DAG，其中0180，连DF、BF，如图。（1）若0，则DF=BF，请加以证明；（2）试画出一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由。专题中点四边形【方法归纳】：中点四边形的形状一般通过三角形中位线定理来证明四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点。、1．如图，求证：四边形EFGH为平行四边形。2．（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，求证：四边形EFGH是菱形。（2）如图2，若AC=BD，则四边形EFGH的形状是_______3．（1）如图1，若四边形ABCD是菱形，求证：四边形EFGH是矩形。（2）如图2，若ACBD，则四边形EFGH的形状是________4．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，则四边形EFGH的形状是________（2）如图2，若AC=BD，ACBD，求证：四边形EFGH是正方形。5．如图，四边形ABCD中，AB=CD，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，求证：四边形EFGH是菱形。6．如图，CA=CB，CD=CE，90ACBDCE，M、N、G、H分别为AE、AB、BD、DE的中点，求证：四边形MNGH为正方形。专题运用正方形的性质求点的坐标【方法归纳】：利用正方形边角的性质构造全等三角形求点的坐标。基本图形：已知正方形ABCD，过B、D两点分别向过点C的直线作垂线，垂足分别为E、F，则BCECDF一、利用垂直且相等构造全等求坐标1．如图，A（-1,0），B（0,3），以AB为边作正方形ABCD，求C，D的坐标。2．如图，边长为2的正方形OABC的OA边与y轴的夹角为30，求B，C的坐标。3．如图，E（-2,0），A（0,4），延长EA至D，使AD=AE，四边形ADCB为正方形，（1）求点C的坐标；（2）求CE的长。二、利用面积法求点的坐标4．如图，A（-3,4），四边形OABC为正方形，AB交y轴于D。（1）求点B的坐标；（2）求点D的坐标。专题正方形中的动态问题【方法归纳】：抓住图形之间的联系，辅助线及解题思路的类似性来解题。1．如图1，在正方形ABCD中，E是BC上一点，F是AE上一点，过点F作GHAF，交直线AB于G，交直线CD于H。（1）求证：BG=CH-BE；（2）如图2，若F是AE延长线上一点，其余条件不变，试探究：BG、BE、CH之间的数量关系。2．问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，45EAF，试判断BE、EF、FD之间的数量关系。【发现证明】小聪把ABE绕点A逆时针旋转90