直线的一般式方程

学.科.网点斜式00()yykxx斜率和一点坐标斜截式ykxb斜率k和截距b两点坐标两点式点斜式两个截距截距式1xyab112121yyxxyyxx00()yykxx名称几何条件方程适用范围bkxy)(00xxkyy1byax复习回顾点P(x0,y0)和斜率k点斜式斜截式两点式截距式斜率k,y轴上的纵截距b在x轴上的截距a在y轴上的截距bP1(x1,y1),P2(x2,y2)有斜率的直线有斜率的直线不垂直于x、y轴的直线不垂直于x、y轴的直线，不过原点的直线121121xxxxyyyy上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？?x+?y+?=0)(11xxkyybkxy121121xxxxyyyy1byax0)1(11kxyykx0)1(bykx0)()()()(1212112112xxyyyxyxxxyy0)(abaybx上述四式都可以写成直线方程的一般形式：Ax+By+C=0,A、B不同时为0。①当B≠0时②当B=0时lxyOCA方程可化为BCxBAyBABC这是直线的斜截式方程，它表示斜率是在y轴上的截距是的直线。表示垂直于x轴的一条直线)0A（CxA方程可化为问:所有的直线都可以用二元一次方程表示？0AxByC一、直线的一般式方程:关于x,y的二元一次方程(其中A、B不同时为0)0CByAx叫做直线的一般式方程,简称一般式。在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：(1)平行于x轴;(1)A=0,B≠0,C≠0二、二元一次方程的系数对直线的位置的影响:lyox在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;二、二元一次方程的系数对直线的位置的影响:lyox(2)B=0,A≠0,C≠0yox在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;二、二元一次方程的系数对直线的位置的影响:(3)A=0,B≠0,C=0lyox在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;(4)与y轴重合;二、二元一次方程的系数对直线的位置的影响:l(4)B=0,A≠0,C=0yox在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;(4)与y轴重合;(5)过原点;二、二元一次方程的系数对直线的位置的影响:l(5)C=0，A、B不同时为0在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线为：(1)平行于x轴(2)平行于y轴(3)与x轴重合(4)与y轴重合0,0,0ABC0,0,0ABC0,0,0ABC0,0,0ABC例1：已知直线经过点A（6，-4），斜率为，求直线的点斜式、一般式和截距式方程。解：经过点A（6，-4）并且斜率等于的直线方程的点斜式方程是143yx化成一般式，得注意:对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项，含y项、常数项顺序排列.截距式方程为:3434)6(344xy01234yx例2：把直线L的方程x–2y+6=0化成斜截式，求出直线L的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图。解：将直线的一般式方程化成斜截式321xy因此，直线L的斜率，它在y轴上的截距是3.令y=0，可得x=-6即直线L在x轴上的截距是-6.xyo3-621k2.设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且│PA│=│PB│，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程是()A.2y-x-4=0B.2x-y-1=0C.x+y-5=0D.2x+y-7=01.直线Ax+By+C=0通过第一、二、三象限，则()(A)A·B0,A·C0(B)A·B0,A·C0(C)A·B0,A·C0(D)A·B0,A·C0练习直线方程的一般式应用[解](1)法一：由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0.l2：mx＋3y－2＝0.①当m＝0时，显然l1与l2不平行．②当m≠0时，l1∥l2，需2m＝m＋13≠4－2.解得m＝2或m＝－3.∴m的值为2或－3.[例3](1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？法二：令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1与l2不重合，l1∥l2，∴m的值为2或－3.(2)法一：由题意，直线l1⊥l2，①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0，显然垂直．②若2a＋3＝0，即a＝－32时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－a＋21－a，k2＝－a－12a＋3，当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，即(－a＋21－a)·(－a－12a＋3)＝－1，所以a＝－1.综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.法二：由直线l1⊥l2，所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1.将a＝±1代入方程，均满足题意．故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.()()22: 1//;2llllllll++=++=^121111222211AxByC0AxByC0补充设直线、的方程分别为：，：，在什么条件下有()2122112211//00llABABBCBC?=-?1且()212122AABB0ll^?=12．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.例3：已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：(1)过点(－1,3)，且与l平行；(2)过点(－1,3)，且与l垂直.[活学活用]3．(1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程；(2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．解：(1)法一：设直线l的斜率为k，∵l与直线3x＋4y＋1＝0平行，∴k＝－34.又∵l经过点(1,2)，可得所求直线方程为y－2＝－34(x－1)，即3x＋4y－11＝0.法二：设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0.∵l经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11.∴所求直线方程为3x＋4y－11＝0.(2)法一：设直线l的斜率为k.∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，∴k·(－2)＝－1，∴k＝12.又∵l经过点A(2,1)，∴所求直线l的方程为y－1＝12(x－2)，即x－2y＝0.法二：设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.∵直线l经过点A(2,1)，∴2－2×1＋m＝0，∴m＝0.∴所求直线l的方程为x－2y＝0.