直线的一般式方程

bkxyxxkyyyybxxavyyuxxcbyax)4()()3(0)()()2(10000000）（的形式：把下列方程化为000vxuyuyvx000byaxbyax000kxyykx0bykx1.我们可以发现，平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程ax+by+c=0表示；2.每一个关于x,y的二元一次方程ax+by+c=0（a,b不同时为0）是否都表示一条直线呢？(1)当b0时，方程可化为，这是过点，以(a,b)为一个法向量的直线。0)(bcybax),0(bc(2)当b=0时，方程为ax+c=0，由于a0，方程化为,表示过点,且垂直于x轴的直线。acx)0,(ac3.一般地，方程ax+by+c=0(a2+b20)叫做直线的一般式方程。1.直线方程可以用二元一次方程ax+by+c=0(a2+b20)表示。2.直线ax+by+c=0(a2+b20)的一个法向量：(a,b)；方向向量：(b,a)；.0bakb，则若例1.已知直线l：2x+3y6=0，求直线l的点方向式方程和点法向式方程。解：在2x+3y6=0中，令x=0，得y=2，直线过点(0,2).直线l的法向量为(3,2),直线l的方向向量为(2,3),直线l的点法向式方程为2x+3(y2)=0.直线l的点方向向式方程为.223yx由一般式方程化为点法向式方程和点方向式方程时，取的点是不唯一的，一般取与坐标轴的交点较简便。例2（1）求过点A(2,5)且平行于直线l:4x3y9=0的直线方程；解法一：直线的方向向量为(3,4)，直线的点方向式方程为解法二：直线的法向量为(4,3)，直线的法向式方程为4(x+2)3(y5)=0.解法三：设与l:4x3y9=0平行的直线方程为4x3y+c=0，又直线过点A(2,5)，故4(2)35+c=0，c=23，所以直线的方程是4x3y+23=0。.4532yx（2）求过点A(2,5)且垂直于直线l:4x3y9=0的直线方程。解法一：直线的方向向量为(4,3)，直线的点方向式方程为解法二：直线的法向量为(3,4)，直线的法向式方程为3(x+2)+4(y5)=0.解法三：设与l:4x3y9=0垂直的直线方程为3x+4y+c=0，又直线过点A(2,5)，故3(2)+45+c=0，c=14，所以直线的方程是3x+4y14=0。.3542yx一般地，与直线ax+by+c=0平行的直线可设为ax+by+c=0(cc)；而与直线ax+by+c=0垂直的直线可设为bxay+c=0。这样可以大大减少运算量。1.若直线(2m)x+my+3=0的法向量恰为直线xmy3=0的方向向量，求实数m的值。解：由题意两直线垂直，则两直线的法向量垂直，故(2m)1+m(m)=0，解得m=1或m=2.2．已知点P(2,1)及直线l:3x+2y5=0，求：（1）过点P且与l平行的直线方程；（2）过点P且与l垂直的直线方程。解：（1）设直线l方程为3x+2y+c=0，点P(2,1)代入，得c=4，直线方程为3x+2y4=0。（2）设直线l方程为2x3y+c=0，点P(2,1)代入，得c=7，直线l的方程为2x3y7=0。3．正方形ABCD的顶点A的坐标为(4,0)，它的中心M的坐标为(0,3)，求正方形两条对角线AC、BD所在的直线方程。解：，直线AC的点方向式方程为即3x4y+12=0，BDAC，故设BD所在直线方程为4x+3y+c=0，将点M(0,3)代入，得c=9，直线BD方程为4x+3y9=0。)3,4(AM344yx例3求与直线m:xy+1=0关于原点对称的直线l的方程。Oxy1分析：直线m上的任意一点关于原点的对称点都在直线l上。解法一：直线m上取两点(1,0)和(0,1)，关于原点的对称点为(1,0)和(0,1)，故所求直线l的方程为xy1=0解法二：因为直线m与直线l平行，故设直线l的方程为xy+c=0又直线l过点(1,0)，故所求直线l的方程为xy1=0。1.直线的一般形式方程为ax+by+c=0(a、b不同时为0)；2.一般地，直线ax+by+c=0(a2+b20)的法向量=(a,b)；方向向量=(b,a)，若b0，则k=。ndba