《高等数学》标准教案

微积分初步9高等数学教案课程名称微积分初步授课专业、班级08工程造价课程类型专业基础课课程学时数68课程学分数4学分教材版本__《高等数学》孙伟主编___________考核方式考勤、理论、平时成绩、期末考试授课教师授课时间08.09——08.12.3120082009学年第一学期………………………………………………………………………微积分初步10一、课程单元、章节第一章函数、极限与连续二、教学要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示方法。2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4．掌握基本初等函数的性质及其图形。5．会建立简单应用问题中的函数关系式。三、重点和难点1.重点：基本初等函数的性质及其图形2.难点：复合函数及分段函数的概念。四、教学进度：理解函数的概念，掌握函数的表示方法。1.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。2.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。3.掌握基本初等函数的性质及其图形。4.会建立简单应用问题中的函数关系式。五、课时数4六、教学方式：课堂讲解，学生课堂课后练习七、作业：教材第9页1，3，4，7，10八、参考书籍：微积分初步11《应用高等数学》上，翟向阳主编，上海交通大学出版社《高等数学》盛骤等编，浙江大学出版社九、教学小结：本章的主要内容在中学已讲过，在教授时注意将以前所学的知识作系统的回顾，并作适当的加深，使学生对初等函数形成比较完整的概念，为学习定积分奠定良好的基础。学生对该章节的内容反映较好。十、教学过程及内容：§1.1函数1。1。1函数的概念①定义设fD为点集，则映射f：RDf称为定义在D上的函数，记为)(xfy，Dx其中：fD称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量。},)(|{)(DxxfyyDfRff称为函数的值域。函数常用f，g，F，G，，等表示，如)(xgy，)(xFy，)(tx等。函数的定义域：使得表达式（算式）有意义的全体实数。如21xy，]1,1[D211xy，)1,1(Dxyln，),0(}0|{xxDxyarcsin，]1,1[D微积分初步12集合},)(|),({DxxfyyxP称为函数)(xfy的图形。②函数的参数变形（复习）。例：).(ln1)2()2(,ln1)(xfxxfxfxxf，求；反过来，若求例：的定义域。，求的定义域若)(]5,1[)(2xfDxf③函数的图像函数图像的描绘。（描点法，举例介绍）函数图像的平移：例：平移两单位，然后向右的图像，若将函数向下作出xxxf2)(2平移一单位后，解析式是？④函数的单调性Dyx,对)()(yfxfyx若则f(x)单增。反之单减。从图像上看，单增的图像在x的正方向上往上。即例：判断)1,0(12在xxy的单调性。（单增）以后判断函数的单调性还有别的方法，例如利用复合函数地方法和导数地方法。⑤函数的奇偶性奇函数：)()(xfxf，偶函数：)()(xfxf奇函数和偶函数定义域对称。例：函数综合复习题。1.1.2初等函数与复合函数微积分初步131．基本初等函数（要求能做出图像，定义域。注意牢记。）1）．幂函数：xy)(R，定义域)0(x以32,xyxy3,xyxy为例2）．指数函数：xay)10(aa且，定义域Rx例如：xxyey31,3）．对数函数：xyln定义域)0(x4）．三角函数：xysin，xycos，xytan，xycot5）．反三角函数：xyarcsin，xyarccos，xyarctan，xarcycot例题：1，做出函数2)3ln(xy的图像。2，做出函数2)1arcsin(xy的图像。3，求)4(log2xyx的定义域。4，求)4(2xy的定义域。注意分,0,0以及它的奇偶性讨论。2．初等函数:由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成并可由一个式子表示的函数称为初等函数。如21xy，xy2sin，2cotxy不是初等函数。xxxyxxysin,1是初等函数。注意，要能区分初等函数和复合函数。例：3．复合函数微积分初步14设)(ufy定义域为1D，)(xgu定义域为2D，而且12)(DDg，则)]([xgfy)]([xgfy称为由)(ufy与)(xgu复合而成的复合函数，记为)]([)(xgfxgf12)(DDg（fDDg)(）为f与g可以复合的条件。如uyarcsin与22xu不能复合。有时，)(ufy与)(xgu复合的定义域可能是)(xgu的定义域的一部分，如uyarcsin与3xu复合得3arcsinxy的定义域为]1,1[为3xu的定义域),(的一部分。单调性相同的函数复合成增函数，单调性不同的函数复合成减函数。例1.求下列函数的定义域xxy21lnxxyln124。分段函数：不同的区间段对应不同的解析式，这时候往往用分段函数来表示。例如00ln2xxxxy1.1.4常见的经济函数微积分初步151需求函数Qd=Qd(p)一般是减函数。2供给函数Qs=Qs(p)一般是增函数。3成本函数C=C0+C1C0是固定成本，一般为常数，C1是变动成本，是产量的函数，即C1=C1(q)。4收入函数R=pq=qp(q)q为产量,这里价格一般是产量的函数。5利润函数L=R-C§1.2函数的极限微积分初步161.2.1极限的概念1数列的极限数列是自变量为自然数的函数，)(nfxn.当n时，若Anfxn)(称A是nx的极限，记为AxnnlimA是一个有限的常数。例：求下列数列的极限,1n,1nnnnn1)1(，n21，)0(1aan，01tnt数列极限的基本性质①数列若有极限，则极限唯一。②有极限的数列一定有界，有界的数列不一定有极限。无界的数列一定无极限。注：nx有界MxMn,0例如：n)1(，ncos.都有界但无极限。对第二条简要证明:只需考察当n时，nx是否是个有限数。由||||||||AAxAAxxnnn容易得到。2函数的极限（1）自变量趋向于无穷时函数的极限例1)(nnnfxn，,2,1n，且n时，1nx，1)(xxxfy，x时，1)(xf.定义：当)(x时，若Axf)(称A是)(xf当)(x时的极限。记为Axfx)(limA是一个有限的常数。例：求极限)0(1limaxax，xxln1lim，xxelim，xxarctanlim思考xxlnlimxxelim是否存在？(2)自变量趋向于某一个有限值时函数的极限定义3：当0xx时，若Axf)(称A是)(xf当0xx时的极限。微积分初步17记为Axfxx)(lim0A是一个有限的常数例3：求)0(lim0axaxxxlnlim1xxtanlim0思考：xxlnlim0是否存在？(3)单侧极限思考？两函数①002xxxxyx从左边趋近0和从右边趋近于0时，0y②002xxxeyxx从左边趋近0时0yx从右边趋近于0时1y当0xx是从左边趋近时，记为0xx当0xx是从右边趋近时，记为0xx定义3若0xx时Axf)(称A是)(xf在0x时的左极限。记为Axfxx)(lim00xx时Axf)(称A是)(xf在0x时的右极限，记为Axfxx)(lim0左极限和右极限统称单侧极限。＊＊)(xf在0x存在极限左右极限存在且相等。即)(lim0xfxx)(lim0xfxx＊例2：判断下列函数在0x是否有极限020xxxxy0sin0lnxxxxy00)1ln(22xxxxy0021xxxeyx1.2.2极限的运算法则)(lim)(lim))()((limxgxfxgxf微积分初步18yfgflimlim)(limgfgflimlim)(lim0limg例4：求下列极限24lim22xxx4532lim20xxxx457863lim2323xxxxx一般地：.,.,0.,lim0011101110mnmnmnbabxbxbxbaxaxaxannnnmmmmx当当当例5：练习：xxxsinlim，xxx1sinlim20例6：求极限：,11lim0xxnxxn11lim01.2.3无穷小量与无穷大量无穷小量1定义：如果当0xx（或x）时，函数f(x)的极限为零，称函数f(x)为0xx（或x）时的无穷小量，简称无穷小。定理：若Axfxx)(lim0则)()(xAxf。其中为0xx时的无穷小.例：2。无穷小性质性质1有限个无穷小的代数和仍为无穷小。性质2有界函数与无穷小的乘积为无穷小。例：0sinlimxxx3。无穷小的比较定义设，为无穷小如果0lim，则说是比高阶的无穷小，记作)(o；微积分初步19如果lim，则说是比低阶的无穷小；如果0limc，则说与是同阶无穷小；如果1lim，则说与是等价无穷小，记作~；如果0limck，0k，则说是关于的k阶无穷小。无穷小替换方法：若)(~)(xx，)()(xxf的极限存在，则)()(xxf的极限等于)()(xxf的极限。注意：替换时无穷小必须是因子。常用的等价的无穷小量。xsin～x,xx~tan,xx~)1ln(,2~cos12xx例3xxx3tan2sinlim0，xxxx3tancos1lim0例430sintanlimxxxx因xx~tan，xsin～x，故极限为零，解法是否正确？1.2.4两个重要极限xxxsinlim0与xxx)11(lim1．夹逼定理和极限xxxsinlim0定理：若在某邻域内)()()(xhxfxg且Axgxxx)(lim)(0，Axhxxx)(lim)(0，则)(lim)(0xfxxx存在，且Axfxxx)(lim)(0。证明：的面积的面积圆扇形的面积AODAOBAOB所以xxxtan2121sin21即xxxtansin由于20x，得微积分初步20xxxcos1sin1或1sincosxxx由于xxsin为偶函数，故在)0,2(内，也有1sincosxxx。由于当2||0x时2)2(22sin2cos1|1cos|0222xxxxx由夹逼准则，得1coslim0xx，由夹逼准则，得1sinlim0xxx一般地：1)()(sinlim0)(xfxfxf例1:20cos1limxxx,xxxarcsinlim0,xxxtanlim0,1sinlim0bxaxx3单调数列极限和xxx)11(lim若1nnxx称数列是单调增数列。1nnxx称数列是单调减数列。定理：单调有界数列必有极限。例2：nn)11(是单调增加数列。故nnn)11(lim是存在的，令ennn)11(lim。)11()21)(11(!1)21)(11(!31)11(!21111!)1()1(1!3)2(1(1!2)1(1!11)11(32nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxnnn)11)(111()121)(111(!)1(1)111()121)(111(!1