对坐标的曲线积分

10.2第二类(对坐标)的曲线积分1curvilinearintegral10.2第二类(对坐标)的问题的提出对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的计算两类曲线积分之间的关系小结思考题作业第10章曲线积分与曲面积分coordinates曲线积分10.2第二类(对坐标)的曲线积分2变力沿曲线所作的功BAL:常力沿直线所作的功分割,0MAABFW实例),(yxFjyxQiyxP),(),(iiMM1jyixii)()(),,(111yxM,),,(111nnnyxMBMn一、问题的提出OxyAB0M2M1nM1MnM1iML),(iiFixiyiM元素法10.2第二类(对坐标)的曲线积分3求和niiiiiiiyQxP1]),(),([取极限niiiiiiiyQxP1]),(),([iWniiWW1iW取近似取),(iiFjQiPiiii),(),(iiiiMMF1),(iiiiiiyQxP),(),(即近似值精确值W0lim),(iiFOxyAB0M2M1nM1MnM1iMLixiyiMiiMM1jyixii)()(10.2第二类(对坐标)的曲线积分4二、对坐标的曲线积分的概念与性质1.定义设L为xOy面内从点A到点B的一条用L上的点:把L分成n个有向小弧段),,(111yxM),(111nnnyxM;,,2,1(1niMMii,,11iiiiiiyyyxxx设iiiiMM1),(为点).,0BMAMn有向光滑曲线弧,函数P(x,y),Q(x,y)在L上有界.上任意取定的点.),,(222yxM,定义10.210.2第二类(对坐标)的曲线积分5,0时iiniixP),(1如果当各小段长度的最大值的极限总存在,记作则称此极限为函数P(x,y)在有向曲线弧L上或称第二类曲线积分.对坐标x的曲线积分,,d),(LxyxPLxyxPd),(即类似地定义LyyxQd),(称Q(x,y)在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分.积分弧段被积函数iiniixP),(lim10iiniiyQ),(lim1010.2第二类(对坐标)的曲线积分62.存在条件当P(x,y),Q(x,y)在有向光滑曲线弧L上则第二类连续(或在L上只有有限个间断点,并且有界),曲线积分存在.以后总假定P(x,y),Q(x,y)在L上连续.10.2第二类(对坐标)的曲线积分73.组合形式LLyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(点积形式其中LryxFd),(jyxQiyxPyxF),(),(),(.dddjyixr有向曲线元向量形式为向量值函数,10.2第二类(对坐标)的曲线积分84.物理意义AByQxPdd⌒jyxQiyxPyxF),(),(),(变力ryxFWABd),(⌒⌒)dd()(jyixjQiPAB有向曲线元⌒沿AB所作的功Wjyixrddd10.2第二类(对坐标)的曲线积分95.推广iiiniiΓxPxzyxP),,(limd),,(10zRyQxPddd空间有向曲线弧Γ,iiiniiΓyQyzyxQ),,(limd),,(10iiiniiΓzRzzyxR),,(limd),,(1010.2第二类(对坐标)的曲线积分106.性质性质1则为常数设,,LryxFyxFd)],(),([21假设向量值函数),(yxF在曲线L上连续.向量形式LLryxFryxFd),(d),(21jyxQiyxPyxF),(),(),(jyixrddd10.2第二类(对坐标)的曲线积分11LL1L2Oxy若把有向曲线弧L分成两段光滑的有向性质2LryxFd),(1d),(LryxF2d),(LryxF曲线弧L1和L2,则相反的有向曲线弧,则设L是有向光滑曲线弧,性质3yyxQxyxPd),(d),(yyxQxyxPd),(d),(LLLLOxy对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.-L是与L方向10.2第二类(对坐标)的曲线积分12补充在分析问题和算题时常用对称性质.L在上半平面部分与下半平面部分LxyxPd),(P(x,y)为P(x,y)为,d),(21LxyxP其中L1是曲线L的上半平面的部分.类似地,LyyxQd),(对坐标的曲线积分,当平面曲线L是分段光滑的,关于的走向相反时,则x轴对称,,0y的偶函数,y的奇函数的讨论也有相应的结论.对10.2第二类(对坐标)的曲线积分13将原式分成两部分,即ABCDAxyx1||dABCDAxyy1||dABCDAxyx1||d对曲线关于的走向与L在下半部分的走向相反,被积函数为ABCDAxyx1||d利用对称性质.L在上半部分x轴对称,y的偶函数.0原式例,1||ddABCDAxyyx计算取逆时针方向.,1||||yx其中ABCDA为解1yx1yx1yx1yx)0,1(A)1,0(B)0,1(C)1,0(DOxy10.2第二类(对坐标)的曲线积分14ABCDAxyy1||d对曲线关于L在右半部分的走向与L在左半部分的走向相反,被积函数为ABCDAxyy1||d.01||ddABCDAxyyx所以,y轴对称,x的偶函数.0ABCDAxyyx1||dd计算ABCDAxyx1||d01yx1yx1yx)0,1(A)1,0(B)0,1(C)1,0(D1yxOxy10.2第二类(对坐标)的曲线积分15对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.三、对坐标的曲线积分的计算因此下限应是起点的坐标,上限是终点的坐标.解法化为参变量的定积分计算10.2第二类(对坐标)的曲线积分16,)()(tytxL的参数方程为定理10.3,时变到,d),(d),(存在LyyxQxyxP][][QPLyyxQxyxPd),(d),(且连续,,0)()(22tt且且)(t),(tttd)(ttd)(),(t)(tttttQtttPd)}()](),([)()](),([{LyyxQxyxPd),(d),(设P(x,y),Q(x,y)在曲线弧L上有定义点M(x,y)从L的起点A沿L运动到终点B,为端点的闭区间上具有一阶连续当参数t单调地由及在以)(),(tt导数,则曲线积分证ttttPd)()](),([先证LxyxPd),(10.2第二类(对坐标)的曲线积分17设分点xi对应参数ti,由定义由于1iiixxx)()(1iittiit)(ttttPd)()](),([niiiP10)](,)([limiit)(niiiP10)](,)([limiit)(niiiixP10),(lim因为L为光滑弧,所以同理可证.d)()](),([ttttQ拉格朗日中值定理),(1iiittLxyxPd),(LyyxQd),(LxyxPd),(,),(iii对应参数点连续所以)(x10.2第二类(对坐标)的曲线积分18特殊情形)(:xyyL)(:yxxLLyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),((1)(2)则xxyxyxQxyxPbad)}()](,[)](,[{yyyxQyxyyxPdcd]}),([)(]),([{则,)()(:tytxLttttQtttPd)}()](),([)()](),([{LyyxQxyxPd),(d),(x起点为a,终点为by起点为c,终点为d,10.2第二类(对坐标)的曲线积分19,)()()(:tztytxzzyxRyzyxQxzyxPd),,(d),,(d),,((3)推广,起点t终点)()](),(),([{ttttP)()](),(),([ttttQ.d)}()](),(),([tttttR10.2第二类(对坐标)的曲线积分20例上为抛物线其中计算xyLxxyL2,dxy2)1,1(A)1,1(B解xyLxxydxxxd)(1023d2xx.54AOxxyd⌒OBxxyd⌒xxxd.)1,1()1,1(的一段弧到从BA(1)1010Oxy化为对x的积分10.2第二类(对坐标)的曲线积分212yx112y11到从y.54Lxxyd(2),d2dyyxyyyd2上为抛物线其中计算xyLxxyL2,d.)1,1()1,1(的一段弧到从BAOxyxy2)1,1(A)1,1(B化为对y的积分114d2yy10.2第二类(对坐标)的曲线积分22其中Γ是由点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段.直线AB的方程为312111zyx,1tx10d)146(tt解化成参数式方程为于是zyxyyxxd)1(dd计算例,21tytz31,0t,1tA点对应B点对应zyxyyxxd)1(dd10d3)31(d2)21(d)1(tttttt.1310.2第二类(对坐标)的曲线积分23例Lyxyxx,d)(d2计算(1)L是上半圆周反时针方向;,22xay解,costaxA点对应(2)L是x轴上由点到点的线段.)0,(aA)0,(aB(1)中L的参数方程为,0t.πtB点对应其中taysin原式=.2π3223aaOxy)cos(dcos2π02tata)sin(d)cossin(tatata)0,(aA)0,(aB10.2第二类(对坐标)的曲线积分24(2)L的方程为原式=xxaad2.aax到从.323aOxy)0,(aA)0,(aB,0yLyxyxx,d)(d2计算(2)L是x轴上由点到点的线段.)0,(aA)0,(aB其中10.2第二类(对坐标)的曲线积分25Lxyyxd2d则曲线积分222yx设L为圆周在第一象限中的部分的值为().π23解,cos2tx设L的参数方程为tysin2Lxyyxd2d)sin2d(cos22π0tt)cos2d(sin222π0ttπ.23Oxy22(逆时针方向),10.2第二类(对坐标)的曲线积分26ttzztyytxx),(),(),(设A对应例设点M(x,y,z)的向径一单位正电荷沿光滑曲线Γ:,t解即,kzjyixr.||222zyxr根据库伦定律,位于原点(0,0,0)处的电荷q产生的静电场中,所作的功W.从点A移到点B,B对应的电场力位于点M处的单位正电荷受到r,rOMrrqF3rFWABd⌒,t求电场10.2第二类(对坐标)的曲线积分27因此所求的功为)()(2drrrrqΓrrrqd323222)(dddzyxzzyyxxq23222)(d)(zyxtzzyyxxq