高等数学-格林公式及其应用

10.3格林公式及其应用110.3格林公式及其应用小结思考题作业格林(Green)公式平面上曲线积分与路径无关的条件全微分方程格林Green.G.(1793—1841)英国数学家、物理学家第10章曲线积分与曲面积分10.3格林公式及其应用2DD1.区域连通性的分类设D为平面区域,复连通区域单连通区域一、格林公式否则称为则称D为平面复连通区域.成的部分都属于D,如果D内任一闭曲线所围单连通区域,10.3格林公式及其应用3定理10.4(格林公式)设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,LDyQxPyxyPxQdddd)(函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有连续偏导数,则有2.格林公式其中L是D的取正向的边界曲线.一阶10.3格林公式及其应用4DLl当观察者沿边界行走时,(1)P、Q在闭区域D上具有一阶连续偏导;(2)曲线L是封闭的,并且取正向.注规定边界曲线L的正向.区域D总在他的左边.DLD:记为LDyQxPyxyPxQdddd)(格林公式10.3格林公式及其应用5}),()(),{(21bxaxyxyxD}),()(),{(21dycyxyyxD(1)先对简单区域证明:证明LDyQxPyxyPxQdddd)(若区域D既是型X又是型Y即平行于坐标轴的直线和L至多交于两点.xyOabdcD)(1xy)(2xyABCE)(2yx)(1yx10.3格林公式及其应用6D)(2yx)(1yxDyxxQdddcyyyQd)),((2CBEyyxQd),(同理可证LDxyxPyxyPd),(dddcyddcyyyQd)),((1LDyQxPyxyPxQdddd)(yyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyyxQd),()()(21xxQyyd)()(21CBECAEyyxQd),(LDyQxPyxyPxQdddd)(LyyxQd),(xyOdcABCE化为二次积分化为第二类曲线积分10.3格林公式及其应用7DL(2)再对一般区域证明:1L1D2D3DDyxyPxQdd)(若区域D由按段光滑(如图)将D分成三个既是型X又是型Y的区域,1DyxyPxQdd)(2L3L321DDD,2D.3D的闭曲线围成.xyO积分区域的可加性LDyQxPyxyPxQdddd)(10.3格林公式及其应用8LyQxPddDyxyPxQdd)(321dd)(DDDyxyPxQyxyPxQdd)(yxyPxQdd)(yQxPddyQxPddLDyQxPyxyPxQdddd)(yxyPxQdd)(1D2D3DyQxPdd1L2L3LDL1L2L3L1D2D3D(L1,L2,L3对D来说为正方向)10.3格林公式及其应用91L2L3L(3)对复连通区域证明:DyxyPxQdd)(若区域不止由一条闭曲线LyQxPdd所围成.)dd(yQxP2L(3L1L)D格林公式且边界的方向对区的曲线积分,右端应包括沿区域D的全部边界域D来说都是正向.LDyQxPyxyPxQdddd)(对复连通区域D,(L1,L2,L3对D来说为正方向)10.3格林公式及其应用101L2L3L(3)对复连通区域证明:由(2)知DyxyPxQdd)(3L)0,0(CEECABBA若区域不止由一条闭曲线添加直线段,AB.CE则D的边界曲线由,AB,2L,BA,AFC,CE,3LECCGA及构成.LyQxPdd所围成.AB2LBAAFCCE)dd(yQxPECCGA{})dd(yQxP2L(3L1L)GFDCEAB(L1,L2,L3对D来说为正方向)对复连通区域D,格林公式且边界的方向对区的曲线积分,右端应包括沿区域D的全部边界域D来说都是正向.10.3格林公式及其应用11便于记忆形式:.ddddLDyQxPyxQPyx格林公式的实质之间的联系.沟通了沿闭曲线的积分与二重积分LDyQxPyxyPxQdddd)(10.3格林公式及其应用12Lxyyxdd(1)计算平面的面积3.简单应用LDyQxPyxyPxQdddd)(格林公式.dd21LxyyxAyx得Dyxdd2闭区域D的面积10.3格林公式及其应用13Oxy例求椭圆解由公式得tttabAd)sin(cos212π202π.abD所围成的面积.LxyyxAdd21π20,sin,costtbytax10.3格林公式及其应用14对平面闭曲线上的对坐标曲线积分,yPxQ当比较简单时,常常考虑通过格林公式化为二重积分来计算.DLyxyPxQyQxPdd)(dd10.3格林公式及其应用15D计算.d)(d)3(LxyxyyxL是圆周:如把圆周写成参数方程:,cos31x再将线积分化为定积分计算,用格林公式易求.分析sin34y)π20(则过程较麻烦.9)4()1(22yx解,)(yxP设yxQ3由格林公式3xQ,1yPDyxdd2.π18Lxyxyyxd)(d)3(Oxy(2)简化曲线积分的计算例DLyxyPxQyQxPdd)(dd10.3格林公式及其应用162.1LyyyyxxyxI,d)2e(de3计算其中L为圆周xyx222解,eyPyxxyQy2e3,eyyPyyxQe33yyPxQ由格林公式有DLyxyPxQyQxPdd)(ddI对称性的正向.OxyyxyDdd3.0D10.3格林公式及其应用17则曲线积分为取正向的圆周设,922yxLLyxxxyxy).(d)4(d)22(2π18解,22yxyP设xxQ42由格林公式42xxQ,22xyPLyxxxyxyd)4(d)22(2Dyxxxdd)2242(Dyxdd2.π18DLyxyPxQyQxPdd)(dd10.3格林公式及其应用18例计算,d)cose(d)sine(ymyxmyyxAOx.22axyx分析但由myQxcosexQyP可知yPxQ非常简单.m,coseyxmyxcose,sinemyyPx其中AO是从点⌒A(a,0)到点O(0,0)的上半圆周此积分路径⌒AO不是闭曲线!Oxy)0,(aA10.3格林公式及其应用19Oxy为应用格林公式再补充一段曲线,因在补充的曲线上还要算曲线积分,补充的曲线要简单,使之构成闭曲线.所以因而这里补加直线段直线段.通常是补充与坐标轴平行的L不闭合+边L＊,使L+L＊闭合,再用格林公式.由格林公式DyxmddymyxmyyxOAAOxd)cose(d)sine(2π81am解.OAaxy0,0OA的方程为ax0d0故0所以,I.π812am0π812amAOOAOA000myPxQymyxmyyxOAxd)cose(d)sine()0,(aA10.3格林公式及其应用20Lxyyxd2d则曲线积分222yx设L为正向圆周在第一象限中的部分,的值为().π23解Lxyyxd2d2121LLLLL00dd3Dyx3yPxQπ4)2(32π.23LOxy222L1LDLyxyPxQyQxPdd)(ddD10.3格林公式及其应用210(3)二重积分化为线积分计算则yPxQ解令,0P2eyxQ例为顶点的Dyyx,dde2计算是其中D)1,0(),1,1(),0,0(BAO以LDyQxPyxyPxQdddd)(格林公式Dyyxdde2BOABOAyyxde2OAyyxde2AByyxde2BOyyxde22ey).e1(21110de2xxx000Oxy11ABD三角形闭区域.10.3格林公式及其应用22解记L所围成的闭区域为D,其中L为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为例Lyxxyyx,dd22计算令,22yxyP22yxxQ,022时则当yx有xQyP22222)(yxxy逆时针方向.10.3格林公式及其应用23LLyxxyyx22dd即L为不包围原点的任一闭曲线.即L为包围原点在内的任一闭曲线.由格林公式,)0,0()1(时当D,)0,0()2(时当D应用由格林公式,得LDyQxPyxyPxQdddd)(0yPxQ作位于D内圆周222:ryxlDLxyOD1DrlxyOP、Q在闭区域D上具有一阶连续偏导;曲线L是封闭的,并且取正向.记D1由L和l所围成,Lyxxyyx,dd22计算10.3格林公式及其应用24Lyxxyyx22ddπ2022222dsincosrrrLyxxyyx22ddπ.2yxyPxQdd所以00lyxxyyx22ddsincosryrx1DyPxQlyxxyyx22dd222:ryxl其中l的方向取逆时针方向L1DrlxyO注意格林公式的条件对复连通区域D,格林公式右端应包括沿且边界的方向区域D的全部边界的曲线积分,对区域D来说都是正向.10.3格林公式及其应用25解记L与l围成的闭区域为D1.设L为圆周在L内部作有向椭圆l:顺时针方向.例LyxyxxyI.4dd22求,022时当yxxQyP.422的正向yx4:22yxLlxyO,4222yxl的方向为1DILyxyxxy224ddllyxyxxy224dd而lLyxyxxy224dd格林公式yxyPxQDdd)(100lyxyxxy224ddcos2xsinyπ202)sin(dcos2)cos2(dsin法一10.3格林公式及其应用26lyxyxxy224ddπ202)sin(dcos2)cos2(dsindcos2sin2π2022222π20d21ππ221I所以π0π.法二lyxyxxy224ddlyxxydd12yxDdd)11(1222π)2(122π4:22yxLlxyO1DD2是由l所围区域2224yx2224:yxl格林公式2Dlyxxydd210.3格林公式及其应用31G1ddLyQxP2ddLyQxPB如果在区域G内有二、平面上曲线积分与路径无关的条件AL1L21.平面上曲线积分与路径无关的定义否则与路径有关.则称曲线积分LyQxPdd在G内与路径无关,xyO10.3格林公式及其应用322.平面曲线积分与路径无关的条件定理10.5的各分量在区域D上有一阶连续偏导数,则以下三个(1)对D中任意分段光滑的闭曲线L,总有;0d),(d),(