数值传热学习题答案(汇总版)

第一章：习题1－7解：由于对称性，取半个通道作为求解区域。常物性不可压缩流体，二维层流、稳态对流换热的控制方程组为：质量守恒方程0=+yvxu动量守恒方程()()++−=+22221yuxuxpyvuxuu()()++−=+22221yvxvypyvvxuv能量守恒方程()()+=+2222yTxTayvTxuT边界条件：进口截面()0,,===vcTyuuin；平板通道上（下）壁面0,0===yTvu；中心线上对称条件：0,0uTvyy===；出口截面0,0,0===xTxvxu；或者写：采用数值传热学的处理方法。xyu(y)TOTh进口出口图1-10习题1-7的图示本题如果采用整个通道作为计算区域，应该扣除0.5分第二章：2-3.解：由uxu=()xuu21=η22yu得：其守恒形式为：()xuu=2η22yu对方程两端在t时间间隔内对其控制容积积分得：()dxdydtxuutttnsew+=+tttewnsdydxdtyu222()()dxdtyuyudydtuuuusntttewtttwens][2−=−++将()()2)(PEeuuuuuu+=,()()()2PWwuuuuuu+=,()nPNnyuuyu−=，()sSPsyuuyu−=。yyysn==)()(带入，得：xdtyuuuydtuuuutttSPNtttWE+−=−++]2[22)()(txyuuutyuuuutStPtNtWtE+−=−222)()(整理得离散方程为：()()0242=−+−−yuuuxuuuutPtStNtWtE2—3：解：由2221()u2uuuxxy===得：原方程的守恒形式为：222()2uuxy=对方程两端在t时间间隔内对其控制容积积分，把可积的部分积出后得：22()ttsnewtuudtdy+−=2ttewtnsuudtdxyy+−选定2u随y而变化的型线，这里取为阶梯式，即在控制容积内沿y方向不变，则2222()=y()ttttsnewewttuudtdyuudt++−−选定2u随t而变化的规律，这里采用阶梯式显式，则22()ttewtyuudt+−=()()22ttewuuty−选定uy随x而变化的型线，这里取为阶梯式，即在控制容积内沿x方向不变，则22ttttewttnsnsuuuudtdxxdtyyyy++−=−选定uy随t而变化的规律，这里采用阶梯显式，则2tttnsuuxdtyy+−=2ttnsuutxyy−进一步选取u随x,y分段线性变化，则2222EPeuuu+=，222w2WPuuu+=()ntPtNtyuuyu−=n，()stStptsyuuyu−=。yyysn==)()(带入得：22t222ttEWNPSuuuuutytxy−−+=整理得离散方程为：22t224()ttEWNPSuuuuuxy−−+=习题2－4[解]1．先用控制容积积分法得出离散方程：以r乘式01=+SdrdTrkdrdr，并对图2-2所示的控制容积P作积分：wewedrdTrkdrdTrkdrdrdTrkdrdrr−=12-4-1()EPeeTTdTdrr−=2-4-1-1()P−=2-4-1-2将式（2-4-1-1）、式（2-4-1-2）代入式（2-4-1）可以得到：()()WPwPEeewTTxrkTTxrkdrdrdTrkdrdrr−−−=12-4-2222eewPwrrrSdrSSrr−==2-4-3根据式（2-4-2）、式（2-4-3）可以得到：PEWPewewrkrkrkrkTTTSrrxxxx+=++2-4-4令eExrka=，wWxrka=，WEPaaa+=，PbSrr=，式（2-4-4）可以写成bTaTaTaWWEEPP++=的形式。2.再用Taylor展开法导出022=++SdrdTrkdrTdk的离散方程。将点ET对点PT作Taylor展开，有：()()+++=!2222ePePPExdrTdxdrdTTT2-4-5再将点WT对点PT作Taylor展开，有：()()++−=!2222wPwPPWxdrTdxdrdTTT2-4-6根据式（2-4-5）、式（2-4-6）可以计算出drdT，22drTd()()()()()()()()222222weewWePweEwxxxxTxTxxTxdrdT+−−−=2-4-7()()()()()()()()222222weewWePweEwxxxxTxTxxTxdrTd+++−=2-4-8将式（2-4-7）、式（2-4-8）代入上面的非守恒型方程，整理成（并考虑到常物性、均分网格）：222PPPPEWPkrkrkrkkTTTrrSrrr=++−+2-4-9令12ePEkrrakrr=+=，12wPWkrrakrr=−=，WEPaaa+=，PbrrS=式（2-4-9）也可以写成bTaTaTaWWEEPP++=的形式。而且两种结果是一致的。2—6：解：将xTTnPdxdTnWnE−=2,，2222,xTTTnPdxTdnWnPnE+−=,()xfdxdk=代入原方程，得：k22xTTTnWnPnE+−+()xfxTTnWnE−2+S=0整理得：SxTxxfkTxxfkkTWEP22)(2)(24+−++=当f(x）xk−2时，Ea会成为负值，当f(x）xk2时，Wa会成为负值。成为负值会使PT的计算结果偏离实际值。2—6：解：查表2-1，可得各阶导数的中心差分表达式如下：n2P,n222()=dxnnEPWTTTdTx−+,()2nnEWPndTTTdxx−=将上式代入原方程，得：k22xTTTnWnPnE+−+()xfxTTnWnE−2+S=0整理得：2222()()[-[]22PWkkfxkfxTTxxxxx=++Ｅ］Ｔ＋Ｓ242()2()2PEWkTkfxxTkfxxTSx=++−+2()Eakfxx=+；2()Takfxx=−当f(x）xk−2时，Ea会成为负值，当f(x）xk2时，Wa会成为负值。按照热力学第二定律，空间与时间坐标上的邻点温度对PT都应有正的影响（这与热量自动从高温物体向低温物体传递相一致），也就是说这些系数都必须大于零或等于零。若其中一个成为负值，就会出现违反热力学第二定律的解。习题2－7[解]将2,iT、3,iT及4,iT对点()1,i作Taylor展开，有：()()()()+++++=!4!3!24443332221,2,yyTyyTyyTyyTTTii2-7-1()()()()+++++=!42!32!2224443332221,3,yyTyyTyyTyyTTTii2-7-2()()()()+++++=!43!33!2334443332221,4,yyTyyTyyTyyTTTii2-7-4（2-7-1）×18，（2-7-2）×（-9），（2-7-3）×2然后相加，验证发现，能够将Taylor展开式中()2yo，()3yo两项消掉，而保留了x项和()4yo项，所以有：()34,3,2,1,06291811yoyTTTTyTiiiiy+−+−−==2-7-5由0=−=yByTq，将式（2-7-5）代入，可以得到：()44,3,2,1,62918111yoyqTTTTBiiii+++−=2-7-6习题2－101234δxδx/2T1T2T3T4Tm图2-12习题2-10图示[解]设温度场分布对于1点是二次曲线：()2cxbxaxT++2-10-1则有：aT=12-10-2()22xcxbaT++=2-10-3()2322xcxbaT++=2-10-4根据式（2-10-2）、式（2-10-3）、式（2-10-4），可以计算出系数a，b，c，代入式（2-10-1）中，可以得到：()()22321321122243xxTTTxxTTTTxT+−+−+−+2-10-5将xx5.1=代入式（2-10-5）中，可以得到1mT：()8362322232433212232132111TTTxxTTTxxTTTTTm++−=+−+−+−+=2-10-6同理可以计算出2，3，4做抛物线插值()()22432432222243xxTTTxxTTTTxT+−+−+−+2-10-7将xx5.0=代入式（2-10-7），可以得到2mT：()86322222434322243243222TTTxxTTTxxTTTTTm−+=+−+−+−+=2-10-8根据式（2-10-6）、式（2-10-8），可以得到mT：16992432121TTTTTTTmmm−++−=+=2-10-9下面分析该计算式的截差等级：将1、2、3、4四点温度对mT点进行Taylor展开，有：()()()+−+−+−+=!35.1!25.15.13332221xxTxxTxxTTTm()()()+−+−+−+=!35.0!25.05.03332222xxTxxTxxTTTm()()()++++=!35.0!25.05.03332223xxTxxTxxTTTm()()()++++=!35.1!25.15.13332224xxTxxTxxTTTm将上面的展开式代入式（2-10-9）中，很容易知道上式对于Taylor展开式中的()4xo存在，因此式（2-10-9）的截差等级为四阶精度。习题2－11[解]将2−i，1−i，1+i对i进行Taylor展开，有：()()()+−+−+−+=−!32!2223332222xxxxxxnini2-11-1()()()+−+−+−+=−!3!23332221xxxxxxnini2-11-2()()()++++=+!3!23332221xxxxxxnini2-11-3（2-11-1）×2，（2-11-2）×（-12），（2-11-3）×4相加，验证发现，能够将Taylor展开式中最后两项消掉，并保留了x项，所以有：xxninininini++−=+−−1246122112,2-11-4第三章：习题3－1[解]一维非稳态导热的Dufort-Frankel格式的截断误差为：()()ninitxTLTLTE,,−=3-1-1将niT1，1niT在点()ni,处进行Taylor展开，有：()21tottTTTn