动荷载问题

材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力1动荷载§6-1概述§6-2构件作等加速直线运动或等速转动时的动应力计算§6-3构件受冲击荷载作用时的动应力计算材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力2§6-1概述动荷载：荷载随时间作急剧的变化，或加载过程中构件内各质点有较大的加速度。本章研究以下几种动荷载问题：前面各章中研究了在静荷载作用下，构件的强度，刚度和稳定性问题。本章研究动荷载问题。Ⅰ.构件作等加速直线运动或等速转动时的动应力问题；Ⅱ.构件受冲击荷载作用时的动应力；Ⅲ.构件在交变应力作用下的疲劳破坏。材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力3§6-2构件作等加速直线运动或等速转动时的动应力计算Ⅰ.构件作加速运动时，构件内各质点将产生惯性力，惯性力的大小等于质量与加速度的乘积，方向与加速度的方向相反。Ⅱ.动静法：在任一瞬时，作用在构件上的荷载，惯性力和约束力，构成平衡力系。当构件的加速度已知时，可用动静法求解其动应力。动静法的应用材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力4一钢索起吊重物M（图a），以等加速度a提升。重物M的重量为P，钢索的横截面面积为A，不计钢索的重量。试求钢索横截面上的动应力sd。例题6-1材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力5设钢索的动轴力为FNd，重物M的惯性力为（↓）（图b），由重物M的平衡方程可得agP)1(NdgaPagPPF(1)gaK1d令（动荷因数）(2)PKFddN则(3)解:1.求钢索的动轴力例题6-1材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力6钢索横截面上的动应力为stdddNdssKAPKAF(4)式中，为静应力。APsts由(3)，(4)式可见，动荷载等于动荷载因数与静荷载的乘积；动应力等于动荷载因数与静应力的乘积。即用动荷因数反映动荷载的效应。2.求钢索横截面上的动应力例题6-1材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力716号工字钢梁，以等加速度a=10m/s2上升，吊索横截面面积A＝108mm2，，不计钢索质量。求：(1)吊索的动应力sd;(2)梁的最大动应力sd,max。例题6-2材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力8解:1.求吊索的sdqst20.5×9.81=201.1N/m吊索的静轴力为N6.2061121.2012121stNlqF16号工字钢单位长度的重量为例题6-2材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力9MPa2.111086.2061NstAFs02.281.91011dgaK吊索的静应力动荷因数为吊索的动应力为MPa6.222.1102.2stddssK例题6-2材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力10C截面上的静弯矩为mN6.20611.20166stmaxqM例题6-22.求梁的sd,max材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力11查表16号工字钢的弯曲截面系数为33mm102.21zW梁的最大静应力为MPa9.56102.21106.206133maxmaxst,zWMs梁的最大动应力为MPa9.1149.5602.2maxst,dmaxd,ssK例题6-2材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力12均质等截面杆AB，横截面面积为A，单位体积的质量为r，弹性模量为E。以等角速度w绕y轴旋转。求AB杆的最大动应力及杆的动伸长（不计AB杆由自重产生的弯曲）。例题6-3lhFNd(x)qd(x)xxlwAyqd(x)B材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力13惯性力的集度为xAxq2d)(rwhhrwhhdd)()(2dNdlxlxAqxF)(2222xlArwAB杆的轴力为222maxNdlAFrwx=0时，解:1.求AB杆的动轴力例题6-3lhFNd(x)qd(x)xxlwAyqd(x)B材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力14AB杆的最大动应力为222maxNdmaxdlAFrws（与A无关）AB杆的伸长量为ElxxlEAAEAxxFlll3d)(2d)(Δ3202220Nddrwrw（与A无关）2.求AB杆的最大动轴力和动伸长例题6-3lhFNd(x)qd(x)xxlwAyqd(x)B材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力15薄壁圆环以等角速度w转动，其横截面面积为A，材料的密度为r。求圆环横截面上的正应力。例题6-4材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力16沿圆环轴线均匀分布的惯性力的集度（图b）为2)2(122dDADAqrwwr解:1.加惯性力例题6-4材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力174sind2221sind22122π02π0dNdDADDADqFrwrw横截面上的正应力为422NddDAFrws由圆环上半部分（图c）的平衡方程得2.求sa例题6-4材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力18§6-3构件受冲击荷载作用时的动应力计算图a表示重量为P的重物，从高度h处自由落下，当重物与杆的B端接触的瞬间速度减少至零，同时产生很大的加速度，对AB杆施加很大的惯性力Fd，使AB杆受到冲击作用。重物称为冲击物，AB杆称为被冲击物，Fd称为冲击荷载。材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力19Ⅱ.不计被冲击物的质量，被冲击物的变形在线弹性范围内；Ⅰ.不计冲击物的变形，且冲击物和被冲击物接触后不回弹；Ⅲ.不计冲击过程中的能量损失。由于冲击时间极短，加速度很难确定，不能用动静法进行分析。通常在以下假设的基础上用能量法作近似计算。材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力20由机械能守恒定理可知：冲击过程中，冲击物所减少的动能Ek和势能Ep等于被冲击物所增加的应变能，即dεpkVEE(a)重物减少的势能为)(dpΔhPE(b)Dd为重物的速度降为零时，B端的最大位移，称为动位移。重物的动能无变化0kE(c)AB杆增加的应变能为(d)ddεd21DFV材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力21由，得EAlFΔddddΔlEAF(e)将(e)式代入(d)式，得2dεd)(21ΔlEAV(f)由于(图c)（B端的静位移），(g)式化为EAPlΔst022stdst2dhΔΔΔΔ(h)将(b)、(c)和(f)式代入(a)式，得2dd)(21)(ΔlEAΔhP(g)材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力22解得stdststd)211(ΔKΔhΔΔ(i)其中std211ΔhK(6-1)Kd为动位移和静位移的比值，称为冲击动荷因数。(6-1)式为自由落体冲击时的冲击动荷载因数。将(i)式代入(e)式，得PKΔKlEAFdstdd(j)AB杆的动应力为stddddssKAPKAF(k)材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力23小结：stdddFKPKFstddΔKΔstddssK凡是自由落体冲击问题，均可以用以上公式进行计算。Kd公式中，h为自由落体的高度，Dst为把冲击物作为静荷载置于被冲击物的冲击点处，被冲击物的冲击点沿冲击方向的静位移。std211ΔhKh=0时，Kd=2（骤加荷载）由于不考虑冲击过程中的能量损失，Kd值偏大，以上计算偏于安全。其它冲击问题的Kd表达式，将根据具体情况由机械能守恒定律求出。材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力24图a、b所示简支梁均由20b号工字钢制成。E=210×109Pa，P=2kN，h=20mm。图b中B支座弹簧的刚度系数k=300kN/m。试分别求图a、b所示梁的最大正应力。（不计梁和弹簧的自重）hP1.5m1.5mzACBzhP1.5m1.5mACB(a)(b)例题6-6材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力25解:1.求图a梁的最大静应力由型钢表查得20b号工字钢的Wz和Iz分别为Wz=250×103mm3，Iz=2500×104mm4MPa6)m102500(4)m3)(N102(4/483max,stzWPls梁的最大静应力为AzhP1.5m1.5mCB例题6-6材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力26m103214.0)m105002)(Pa1021048)m3N)(102(48348933st（EIPlwΔCC截面的静位移为动荷因数为7.143214.020211211stdΔhK梁的最大动应力为MPa2.88)MPa6(7.14max,stddssK2.求图a梁的最大动应力例题6-6材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力273.求图b梁的动荷因数mm0881.1N/m103004N102mm2143.022/48333stkPEIPlΔ7.50881.120211dKC截面的静位移为动荷因数为hP1.5m1.5mzACB例题6-6材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力28MPa2.34MPa67.5max,ds梁的最大动应力为6.27.57.14)()(bdadKK4.求图b梁的最大动应力由于图b梁的B支座改用了弹簧，从而使梁的C截面的静位移增加，所以降低了动荷因数。例题6-6hP1.5m1.5mzACB材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力29重物G的重量为P，以水平速度v冲击AB的C截面。设AB梁的弯曲刚度为EI，弯曲截面系数为W。试求梁的最大动应力sd,max。例题6-7材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力30这是水平冲击问题。冲击过程中，冲击物（重物G）的速度由v减小到零，冲击物减小的动能为)a(212kvgPE0pE)b(21ddεdΔFV解:1.分析冲击物的势能没有改变，即当冲击物冲击到AB梁时，梁受到冲击荷载Fd，梁的C截面产生动位移Dd，梁增加的应变能为例题6-7材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力31)c(33dd,dEIaFwΔC由于)e()3(212d3εdΔaEIV从而有)d(3d3dΔaEIF故例题6-7材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力32由机械能守恒定律，即2d32)3(212ΔaEIgPv解得st2stdgΔvΔΔ2.求水平冲击时的动荷因数Kd，并求sd,max例题6-7材料力学(II)电子教案动荷载·交变应力33EIPaΔ33stst2stddgΔvΔΔK水平冲击时的冲击动荷因数为（把P作为静荷载置于C截面时，C处的静位移）。。WPaKKdmax,stdmax,dss式中梁的最大动应力为例题6-7