2.3.2平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示上课

教学目标了解平面向量基本定理，理解平面里的任意向量都可以用两个不共线的向量唯一表示会用平面向量基本定理：①会用基底表示向量②利用表示方法是唯一解参量复习:共线向量基本定理：向量与向量共线当且仅当有唯一一个实数使得(0)aabababbb00BAMN2e1e探究：给定平面内两个向量、，平面内任一向量是否都可以在这两向量方向上分解呢？1e2e分解平移共同起点1e2ea1e1e2eaa2eOABOBOAa11eOA22eOB2211eeaBAMN探究：给定平面内两个向量、，平面内任一向量是否都可以在这两向量方向上分解呢？1e2eNM12,ee是不是唯一呢？B不是121122=+eeaee当，给定后，的分解是不是唯一的？唯一1122aee可以一、平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量有且只有一对实数,使21ee、a21、2211eea12.ee其中，叫做表示这一平面内所有向量一组基底的2、基底不唯一，关键是不共线.4、基底给定时，分解形式唯一.说明：1、把不共线的非零向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.12,ee3、由定理可将任一向量在给出基底的条件下进行分解.12,eea练习练习1练习3练习21.设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（）12,ee12213246Beeee和1212Aeeee和122122Ceeee和212Deee和B二、向量的夹角:OABba两个非零向量，ab和的夹角．ab夹角的范围：180OABab90OABab注意:同起点(0180)AOB叫做向量0OABab例1:如图，等边三角形中，求(1)AB与AC的夹角；(2)AB与BC的夹角。ABC60'C0120注意:同起点，，试用、表示。例2：如图1，D是⊿ABC中BC边的中点，abADABaACbADBC图1例2例1例题例311+22ADab（1）如图3，如果点E是线段BD的中点，试用、表示。abAEADBC图3E变式例题例2例1例33144AEabADBC图3E3144AEABAC1122ADABAC你能发现其中的规律吗？例2例1例3例题AB.1,nmOBnOAmOPABPBAO且则上，在直线若点三点不共线，、、已知OP.,),R(,,OPOBOAtABtAPOBOA表示用且不共线、如图一个重要结论OBtOAtOP)1(结论：,32,23,,,ijABijCBijCDijABD变式：已知是两个不共线的向量，如果，那么当实数为何值时，三点共线。1212123,2-3-3-5=5+6,2x+5yxyeexyexyeee例题已知、是平面内的一组基底，实数xy满足求及的值如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点N在线段BD上，且有BN=BD，求证：M、N、C三点共线。31ADBCMN2.3.2-2.3.3平面向量的坐标表示及坐标运算教学目标平面向量的坐标表示的概念，理解平面向量与实数的一一对应关系利用坐标进行向量的加法、减法、数乘运算。情境引入：力的正交分解1F4F3F2F那么是否任意向量也能表示为一个水平方向向量和一个竖直方向向量之和呢可以平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解思考：我们知道在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（坐标）表示，对直角坐标平面内的每个向量呢？如何表示呢？平面向量的坐标表示yOxaixjy+axiyj我们把(x,y)叫做向量的(直角)坐标，记作a(,)axy其中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，(x,y)叫做向量的坐标表示.aa正交单位基底ji=1,=1ijOxyAijaxy+axiyj+OAxiyj当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.坐标(x,y)一一对应两个向量相等，利用坐标如何表示？2121yyxxba且向量a向量坐标的几何意义.,并求出它们的坐标、、、分别表示向量，如图，用基底dcbaji1.例jiAAAAa3221解：(2,3)a)3,2(32jib)3,2(32jic)3,2(32jidjyxOicaA1AA2Bbd平面向量的坐标运算已知a，b，求a+b，a-b．),(11yx),(22yx解：a+b=(i+j)+(i+j)1x1y2x2y=（+)i+（+)j1x2x1y2y即),(2121yyxxa+b同理可得a-b),(2121yyxx两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差a11=+axiyj11=+yxij实数与向量相乘的坐标等于实数与相应坐标的乘积。11=,xy例2:已知，求的坐标.1122(,),(,)AxyBxyABxyOBAABOBOA2211(,)(,)xyxy2121(,)xxyy一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.解：例3．已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b，a-b，3a+4b的坐标．解：a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；3a+4b=3（2，1）+4（-3，4）=（6，3）+（-12，16）=（-6，19）动手练练1、若向量a的起点坐标为（3，1）,终点坐标为（－3，－1）求a的坐标.3、已知＝（2,3),点B的坐标为（－2，1）求的坐标.ABOA2、已知向量＝（6，1），＝（1,－3），＝（－1,－2），求向量.ABBCCDDA-6-2，-64，-4-2，4325112MNPMPMN、已知两点，和，，点满足，求P点坐标3-1-2，例4．已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．解：设顶点D的坐标为（x，y）），（）），（　211321(AB)4,3(yxDC，得由DCAB)4,3()2,1(yxyx4231　　　22yx），的坐标为（　顶点22D-103,01-5变式、已知平行四边形三个顶点的坐标分别为，，，，则第四个点的坐标为多少？1,55-5-3-5或，或，课堂小结:2加、减法法则.a+b=(x2,y2)+(x1,y1)=(x2+x1,y2+y1)3实数与向量积的运算法则：λa=λ(x,y)=(λx,λy)4向量坐标.1向量坐标定义.若A(x1,y1),B(x2,y2)则=(x2-x1,y2–y1)ABa-b=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1)