新课标人教版课件系列《高中数学》选修4-52.3《证明不等式的基本方法--反证法与放缩法》教学目标•结合已经学过的数学实例,了解间接证明的两种基本方法——反证法和放缩法;了解反证法和放缩法的思考过程、特点.•教学重点:会用反证法和放缩法证明问题;了解反证法和放缩法的思考过程.•教学难点:根据问题的特点,选择适当的证明方法.复习•不等式证明的常用方法:•比较法、综合法、分析法反证法先假设要证明的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到矛盾,说明假设不正确,从而间接说明原命题成立的方法。1.xy02.1x12.yxyyx例已知,,且试证:,中至少有一个小于例题例2、已知a+b+c0,ab+bc+ca0,abc0,求证:a,b,c0证:设a0,∵abc0,∴bc0又由a+b+c0,则b+ca0∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc0与题设矛盾若a=0,则与abc0矛盾,∴必有a0同理可证:b0,c0例3、设0a,b,c1,求证:(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于1/4则三式相乘:(1a)b•(1b)c•(1c)a①641又∵0a,b,c1∴412)1()1(02aaaa同理:41)1(bb41)1(cc以上三式相乘:(1a)a•(1b)b•(1c)c≤641与①矛盾∴结论成立证明:设(1a)b1/4,(1b)c1/4,(1c)a1/4,•在证明不等式过程中,有时为了证明的需要,可对有关式子适当进行放大或缩小,实现证明。例如:•要证bc,只须寻找b1使bb1且b1≤c(放大)•要证ba,只须寻找b2使bb2且b2≥a(缩小)•这种证明方法,我们称之为放缩法。•放缩法的依据就是传递性。放缩法常用的方法•①添加或舍去一些项•②将分子或分母放大(或缩小)•③应用“糖水不等式”•④利用基本不等式•⑤利用函数的单调性•⑥利用函数的有界性•⑦绝对值不等式•⑧利用常用结论•⑨应用贝努利不等式例1、若a,b,c,dR+,求证:21caddbdccacbbdbaa证:记m=caddbdccacbbdbaa∵a,b,c,dR+1cbaddbadccacbabdcbaam2cdddccbabbaam同时∴1m2即原式成立2.111abab例已知a,b是实数,求证:a+bab法1:bbaababa111证明:在时,显然成立.0ba当时,左边0ba111ba1||11111abbaabababab.11bbaa1abab.11bbaa法2:0,abab1111111111||abababababab||11baabab法3:函数的方法*32...2()nnn例求证:111(n+1-1)1+23n*1222(1),21kkkNkkkk1111232[(10)(21)(32)(1)]2.nnnncbacacababa2222222222222233()()2424()()22aabbaaccaabacaaabcabc例4、巳知:a、b、c∈,求证:R略解小结•在证明不等式过程中,有时为了证明的需要,可对有关式子适当进行放大或缩小,实现证明。例如:•要证bc,只须寻找b1使bb1且b1≤c(放大)•要证ba,只须寻找b2使bb2且b2≥a(缩小)•这种证明方法,我们称之为放缩法。•放缩法的依据就是定理2(传递性性质)课堂练习1、当n2时,求证:1)1(log)1(lognnnn证:∵n2∴0)1(log,0)1(lognnnn2222)1(log2)1(log)1(log)1(log)1(lognnnnnnnnnn12log22nn∴n2时,1)1(log)1(lognnnn课堂练习•2、若p0,q0,且p3+q3=2,•求证:p+q≤2课堂小结•证明不等式的特殊方法:•(1)放缩法:对不等式中的有关式子进行•适当的放缩实现证明的方法。•(2)反证法:先假设结论的否命题成立,•再寻求矛盾,推翻假设,从而证明结•论成立的方法。