2.3等差数列的前n项和性质及应用(1)

等差数列的前n项和公式:2)1nnaanS（dnnnaSn2)11（形式1:形式2:复习回顾1.将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？2)1(1dnnnaSn当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数21()22nddSnan则Sn=An2+Bn令1,22ddABa等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得11313321113111022dd∴d=－2113(1)(2)2nSnnn214nn2(7)49n∴当n=7时,Sn取最大值49.等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－20∴当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为31172n7n113Sn等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由100nnaa得152132nn∴a7+a8=0等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法4由S3=S11得∴当n=7时,Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－20,a1=130∴a70,a80求等差数列前n项的最大(小)的方法方法1:由利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.21()22nddSnan方法2:利用an的符号①当a10,d0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②当a10,d0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an≤0且an+1≥0求得.练习:已知数列{an}的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为()A.12B.13C.12或13D.14C2.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有n2d性质2:为等差数列.{}nSn2nSAnBnAnBnn2.等差数列{an}前n项和的性质在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有(2)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=,SS奇偶nd1nnaa性质3:(1)若项数为奇数2n－1,则S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),此时有:S偶－S奇=,SS奇偶an1nn两等差数列前n项和与通项的关系性质4:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则nnab2121nnST2121(21)(21)nnnnnnSnaaTnbb例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则S9=________813.等差数列{an}前n项和的性质的应用解法1：依题意知，S3=9，S6=361(1)2nnnSnad将它们代入公式解法2：由题意知，设BnAnsn2则有解法3：S3，S6–S3，S9–S6，成等差数列369369nSSSSn解法4：是一个等差数列，则，，成等差数列a7+a8+a9=?例2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=()A.85B.145C.110D.90A3.等差数列{an}前n项和的性质的应用例3.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为.5例3.两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且71427nnSnTn求和.55abnnab556463ab146823nnanbn等差数列{an}前n项和的性质的应用例4.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=.例5.设数列{an}的通项公式为an=4n-24,则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a20|=.10480等差数列{an}前n项和的性质的应用an=-4n+24练习2：已知在等差数列{an}中,a10=23,a25=-22,Sn为其前n项和.（1）问该数列从第几项开始为负？（2）求S10（3）求使Sn0的最小的正整数n.(4)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值4.数列前n项和其他几种类型1、裂项相消法111(1)(1)1nannnn1111(2)()()nannkknnk1111(3)[](1)(2)2(1)(1)(2)nannnnnnn111...1223(1)nSnn1111...132435(2)nSnn1111nnn4.数列前n项和其他几种类型1、裂项相消法1(4)11nnnn1(5)()knknnkn111...12231nSnn11n4.数列前n项和其他几种类型2、倒序相加法2222(1)sin1sin2sin3....sin89(2)(),1,()+()=1,1221(0)()()()....()(1)已知函数对任意，若则有求nfxxyRxyfxfynSffffffnnnn1.根据等差数列前n项和，求通项公式.1112nnnanaSSn2、结合二次函数图象和性质求的最值.ndandSn)2(2122.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有n2d性质2:为等差数列.{}nSn2nSAnBnAnBnn2.等差数列{an}前n项和的性质在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有(2)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=,SS奇偶nd1nnaa性质3:(1)若项数为奇数2n－1,则S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),此时有:S偶－S奇=,SS奇偶an1nn两等差数列前n项和与通项的关系性质4:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则nnab2121nnST2121(21)(21)nnnnnnSnaaTnbb作业P46A组5T,B组2T,4T