2012届高考数学二轮复习精品课件(大纲版)专题2 第6讲 三角函数的图象与恒等变换

第6讲三角函数的图象与恒等变换第7讲正弦、余弦定理与解三角形专题二三角函数、平面向量第8讲平面向量及其应用专题二三角函数、平面向量知识网络构建专题二│知识网络构建考情分析预测专题二│考情分析预测考向预测三角函数和平面向量知识是近年来高考命题比较平稳的知识点，本专题的重点内容是三角函数的图象与性质，三角函数的恒等变换(化简、求值)，平面向量的线性运算，平面向量的数量积运算等，其中三角函数与平面向量的综合题成为高考命题的特色．命题形式基本上是用选择题或者填空题的方式考查三角函数和平面向量的基础知识、基本技能以及化归与转化的能力、计算能力等，解答题要求考生具有一定的知识迁移能力，特别是平面向量与圆锥曲线的综合问题，体现向量的工具价值．由于该专题新旧教材基本没有变化，因此，预计2012年高考本专题命题依然是保持稳定，具有以下特点：专题二│考情分析预测(1)选择、填空题考查以下问题：①三角函数的性质，即单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、图象变换等；②给值求值问题；③简单的解三角形问题；④向量的线性运算、向量的数量积计算；⑤向量的共线、垂直及夹角问题．(2)解答题考查以下问题：①与向量结合的给值求值问题；②综合考查函数恒等变换、性质、图象变换问题；③解三角形及三角函数的应用问题．专题二│考情分析预测备考策略二轮复习时，需关注以下四个方面：(1)三角函数的化简与求值以三角函数的基本公式为基础，通过恒等变形及数值运算等方法使得三角函数式得以化简或求出具体的数值．这类题目一般难度不大，多出现在选择题或填空题或较基础的解答题中，在历年的高考中保持相对稳定．(2)三角函数的图象和性质是三角运算的延伸，它不仅要求学生掌握三角函数的基本公式，还要求学生能借助函数图象直观地判断三角函数所具有的性质与特点．因此，这部分内容更能考查学生的灵活性．从近几年的命题趋势来看，这一部分的内容在逐步加强，但是难度一般不大，在二轮复习中要多注意对三角函数图象的分析，能灵活应用数形结合等方法解决问题．专题二│考情分析预测(3)解斜三角形是高考的必考内容，重点为正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，考题灵活多变，常与三角函数结合实现边角互化，难度中等．二轮复习中要多注意三角函数公式、正弦定理、余弦定理之间的联系及灵活变形．(4)平面向量的引入为解决平面几何问题及简单的代数问题提供了很大的方便，因此平面向量是重要的数学工具之一．而高考命题也体现了向量的这一特点，从向量的基本运算出发，重点考查平面向量的应用及与其他知识的简单综合，一般难度不大，但是出题的频率较高．预计在2012年仍会在平面向量与三角函数、平面向量与解析几何等交汇处设置命题.专题二│近年高考纵览第6讲三角函数的图象与恒等变换第6讲三角函数的图象与恒等变换主干知识整合第6讲│主干知识整合1．三角函数的图象和性质在解答题中出现的频率较高，要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性、最值、周期等.2．正弦函数和余弦函数的图象既是中心对称图形又是轴对称图形．通过研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0)的图象特点，可以发现它具有以下几点性质：①在对称轴处取得最大值或最小值；②对称中心就是函数图象与x轴的交点；③两相邻的对称中心(或对称轴)之间相差半个周期，相邻的一个对称中心和对称轴之间相差四分之一个周期．第6讲│主干知识整合3．三角函数的恒等变换的通性通法是：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有：切割化弦、降幂、用三角公式转化出特殊角、异角化同角、异名化同名、高次化低次等．二倍角公式是实现降幂或升幂的主要依据，注意其变形：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.4．三角函数公式的应用是考查的重点，应用三角函数求值、化简及证明恒等式是主要考查方式．因此在复习本讲内容时，不但要熟记三角函数公式，还要灵活变换公式并加以应用．例如，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ与tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)的转化；正(余)弦倍角公式与半角公式的转化等．例1[2011·重庆卷]已知sinα＝12＋cosα，且α∈0，π2，则cos2αsinα－π4的值为________．要点热点探究第6讲│要点热点探究►探究点一三角函数的求值【分析】思路1：已知条件即sinα－cosα＝12，即sinα－π4＝24，则只要根据诱导公式和倍角公式变换cos2α为－2sinα－π4cosα－π4，化简求解目标后再具体求解；思路2：将sinα－π4展开，与分子化简得sinα＋cosα的结构式，而沟通sinα＋cosα与sinα－cosα的关系式是(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2.第6讲│要点热点探究－142【解析】cos2αsinα－π4＝cos2α－sin2α22sinα－cosα＝cosα＋sinαcosα－sinα22sinα－cosα＝－2(cosα＋sinα)，∵sinα＝12＋cosα，∴cosα－sinα＝－12，两边平方得1－2sinαcosα＝14，所以2sinαcosα＝34.∵α∈0，π2，∴cosα＋sinα＝cosα＋sinα2＝1＋34＝72，∴cos2αsinα－π4＝－142.第6讲│要点热点探究【点评】在进行三角恒等变换时，一个重要的技巧是进行角的变换，把求解的角用已知角表示出来，把求解的角的三角函数用已知的角的三角函数表示出来；在进行三角函数化简或者求值时，如果求解目标较为复杂，则首先要变换这个求解目标，使之简化，以便看出如何使用已知条件．第6讲│要点热点探究►探究点二三角函数的图象例2[2011·全国卷]设函数f(x)＝cosωx(ω0)，将y＝f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于()A.13B．3C．6D．9【分析】先按照题设条件进行平移，再讨论ω的最小值．第6讲│要点热点探究C【解析】将y＝f(x)的图象向右平移π3个单位长度后得到的图象与原图象重合，则π3＝2πωk，k∈Z，得ω＝6k，k∈Z，又ω＞0，则ω的最小值等于6，故选C.【点评】本题考查三角函数图象的平移变换，理解函数图象平移变换的原理是解题的关键．若图象向右平移π3个单位，则应给自变量减π3；若图象向左平移π3个单位，则应给自变量加π3.特别强调的是此处是给x作加减，而不是给ωx作加减．第6讲│要点热点探究将函数y＝cosx－π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的一条对称轴方程为()A．x＝π9B．x＝π8C．x＝π2D．x＝πC【解析】平移后的函数解析式为y＝cos12x－π4，根据对称轴的意义，有12x－π4＝kπ(k∈Z)，即x＝2kπ＋π2(k∈Z)．∴x＝π2是平移后函数图象的一条对称轴方程．第6讲│要点热点探究►探究点三三角函数的性质例3[2011·安徽卷]已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤fπ6对x∈R恒成立，且fπ2f(π)，则f(x)的单调递增区间是()A.kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)B.kπ，kπ＋π2(k∈Z)C.kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)D.kπ－π2，kπ(k∈Z)【分析】f(x)≤fπ6说明fπ6是函数f(x)的最大值或者最小值，从而可以确定φ的可能取值，再根据fπ2＞f(π)确定φ的具体取值，求出函数的解析式，根据正弦型函数的性质得出其单调递增区间．第6讲│要点热点探究C【解析】对x∈R时，f(x)≤fπ6恒成立，所以fπ6＝sinπ3＋φ＝±1，可得φ＝2kπ＋π6或φ＝2kπ－5π6，k∈Z.因为fπ2＝sin(π＋φ)＝－sinφf(π)＝sin(2π＋φ)＝sinφ，故sinφ0.所以φ＝2kπ－5π6，所以f(x)＝sin2x－5π6.由－π2＋2kπ≤2x－5π6≤π2＋2kπ，得函数f(x)的单调递减区间为kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)，答案为C.第6讲│要点热点探究【点评】正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)单调性可以从复合函数的单调性去理解，在ω＞0时，u＝ωx＋φ是单调递增的，故A＞0时，函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调递增区间就是y＝sinu的单调递增区间，根据正弦函数单调递增区间即可得出u的范围，求出x的解区间就是所求函数的单调递增区间(减区间的处理方法类似)．当ω＜0时，一般是根据三角函数的诱导公式把其化为正值，再求解其单调区间，如求y＝sin－2x＋π4的单调递增区间可以转化为求函数y＝sin2x－π4的单调递减区间．第6讲│要点热点探究设函数y＝2sin2x＋π3的图象关于点P(x0,0)中心对称，若x0∈－π2，0，则x0＝________.－π6【解析】由正弦函数的性质知，正弦函数图象的对称中心是其与x轴的交点，∴y＝2sin2x0＋π3＝0，又x0∈－π2，0，解得x0＝－π6.第6讲│要点热点探究例4[2011·北京卷]已知函数f(x)＝4cosxsinx＋π6－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π6，π4上的最大值和最小值【分析】首先将函数解析式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再研究相关性质．第6讲│要点热点探究【解答】(1)因为f(x)＝4cosxsinx＋π6－1＝4cosx32sinx＋12cosx－1＝3sin2x＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6，所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π6≤2π3.于是，当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值2当2x＋π6＝－π6，即x＝－π6时，f(x)取得最小值－1.【点评】三角函数的周期、最值、单调区间等问题，一般考虑先将所给的解析式化为一个角的一种三角函数的形式，再研究对应的三角函数性质．对于给定区间的三角函数求最值，要注意利用三角函数的图象进行分析．第6讲│要点热点探究►热点链接4由三角函数的图象确定解析式的基本方法由三角函数的图象确定函数的解析式，主要是确定参数A，ω，φ的值，通常的方法为：①A可以由图象的最高(低)点确定；②ω一般通过周期公式T＝2πω来求解，因而要求出ω的关键在于求出周期．一般地，函数的周期可以由最高点、最低点、零点的坐标或者对称轴的方程、对称中心的坐标等求解；③φ可用代入法求解，即把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)求解，这里要注意这个已知点是最值点还是零点，如果是零点还要看清它是在增区间上还是在减区间上，并结合“五点作图法”对应的五个点进行理解．第6讲│要点热点探究例5[2011·辽宁卷]已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2，y＝f(x)的部分图象如图6－1，则fπ24＝________.图6－1第6讲│要点热点探究【分析】根据正切函数的周期性和已知函数图象上的特殊点的坐标，求出函数的解析式．【答案】3【解析】由图象知πω＝2×3π8－π8＝π2，ω＝2.又由于2×π8＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，φ＝kπ＋π4(k∈Z)，又|φ|π2，所以φ＝π4.这时f(x)＝Atan2x＋π4.又图象过(0,1)，代入得A＝1，