2012届高考数学二轮复习精品课件(江苏专用)专题8 三角函数及恒等变换

专题八三角函数及恒等变换专题九三角函数的图象与性质专题十平面向量的线性运算专题十一平面向量的坐标运算与数量积专题十二三角函数的综合应用第二单元三角函数与平面向量第二单元三角函数与平面向量知识网络构建第二单元│知识网络构建考情分析预测第二单元│考情分析预测考向预测回顾2008～2011年的考题中，在填空题中主要考查了三角公式的运用、三角函数的图象、正、余弦定理的运用及平面向量的数量积．在解答题中有2008、2011年主要考查了三角化简求值、2009年考查了向量与三角化简的综合问题，而2010年单独考查了平面向量的基本运算．在近四年的应用题考查中，有两年考查了与三角函数有关的应用题．在近四年的考查中，同角三角函数关系与诱导公式没有两角和与差的公式考查力度大，基本上考查不多，但作为三角化简的基本功还是要掌握其公式的特征的．预计在2012年的高考题中：(1)填空题依然是考查简单的三角函数化简、三角函数图象与性质、解三角形、平面向量的基本运算，随着题目设置的顺序，难度不一．(2)在解答题中，三角函数的化简以及三角函数的性质依然是解答题第一题的热点，兼顾三角形和平面向量的题也会出现，应用题考查几何图形中三角函数的运用的可能性也很大．第二单元│考情分析预测备考策略由于该专题内容基础，高考试题的难度不大，经过一轮的复习学生已经达到了高考的要求，二轮复习就是在此基础上进行的巩固和强化，在复习中注意如下几点：(1)该专题具有基础性和工具性，虽然没有什么大的难点问题，但包含的内容非常广泛，公式很多，有些公式易用错，在复习时要加强对基本公式和基本运算的训练．(2)抓住考查的主要题型进行训练，要特别注意如下几个题型：根据三角函数的图象求函数解析式或者求函数值，根据已知三角函数值求未知三角函数值，与几何图形结合在一起的平面向量数量积，解三角形中正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合运用，解三角形和与三角函数有关的实际应用问题．(3)注意数学思想方法的应用，该部分充分体现了数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想(变换)，在复习中要有意识地应用数学思想方法，强化数学思想方法在指导解题中的应用．第二单元│考情分析预测第二单元│考情分析预测专题八三角函数及恒等变换专题八三角函数及恒等变换主干知识整合专题八│主干知识整合专题八│主干知识整合专题八│主干知识整合2.公式的作用(1)三角函数的定义：建立角的终边上的点坐标与三角函数之间的关系．(2)同角三角函数关系：主要是解决相同角之间的三角函数之间的关系．(3)诱导公式：解决α与kπ＋π2＋α的三角函数值之间的关系．(4)两角和与差的公式：解决角的和与差的三角函数值与原角的三角函数值之间的关系．(5)二倍角公式：解决角的倍数关系及三角函数升降幂变化．3．三角函数化简的原则(1)式子的结构最简单：整式或常数．(2)式子的方次最简单：一次或常数．(3)式子的名称最简单：名称统一或常数．(4)式子的角最简单：角统一或常数．要点热点探究专题八│要点热点探究►探究点一三角函数定义的运用三角函数定义的运用在2008年高考题中出现在解答题的第一题，三角函数的定义主要是由角终边上的点坐标得到三角函数值，再进行三角化简和求值．专题八│要点热点探究例1如图8－1，O为坐标原点，点A，B，C均在⊙O上，点A35，45，点B在第二象限，点C(1,0)．(1)设∠COA＝θ，求sin2θ的值；(2)若△AOB为等边三角形，求点B的坐标．图8－1专题八│要点热点探究【解答】(1)由题意得，cosθ＝35，sinθ＝45，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝2425.(2)因为△AOB为等边三角形，所以∠AOB＝60°，所以cos∠BOC＝cos(∠AOC＋60°)＝3－4310，同理，sin∠BOC＝4＋3310，故点B的坐标为3－4310，4＋3310.专题八│要点热点探究【点评】三角函数的定义中关键在于α角的始边必须与x轴正半轴重合，且角的终边与单位圆相交所得点的坐标才为(cosα，sinα)．专题八│要点热点探究如图8－2，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．图8－2专题八│要点热点探究【解答】(1)由已知条件即三角函数的定义可知cosα＝210，cosβ＝255，因为α为锐角，故sinα0，从而sinα＝1－cos2α＝7210，同理可得sinβ＝1－cos2β＝55，因此tanα＝7，tanβ＝12.所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－－3×12＝－1，又0απ2，0βπ2，故0α＋2β3π2，从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝3π4.专题八│要点热点探究►探究点二三角形中的三角化简求值问题三角形中的三角化简求值问题不仅需要借助于三角公式研究，还需要结合正余弦定理来达到化简和求值的目的．例2[2011·江苏卷]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若sinA＋π6＝2cosA,求A的值；(2)若cosA＝13，b＝3c，求sinC的值．专题八│要点热点探究【解答】(1)由题设知sinAcosπ6＋cosAsinπ6＝2cosA.从而sinA＝3cosA，所以cosA≠0，tanA＝3，因为0＜A＜π，所以A＝π3.(2)由cosA＝13，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝b2－c2.故△ABC是直角三角形，且B＝π2，所以sinC＝cosA＝13.专题八│要点热点探究【点评】第一小问中所给三角方程，需要将不同角化成同一角后，即可解出三角方程；第二小问中首先要结合余弦定理判断三角形形状，再根据所得直角三角形用诱导公式求出sinC的值．专题八│要点热点探究►探究点三向量背景下的三角化简和求值向量的坐标运算会与三角函数有关联，这类问题需要先用向量公式进行运算后，再用三角公式进行化简和求值．例3已知向量a＝(4,5cosα)，b＝(3，－4tanα)．(1)若a∥b，试求sinα的值；(2)若a⊥b，且α∈0，π2，求cos2α－π4的值．专题八│要点热点探究【解答】(1)因为a∥b，所以5cosα4＝－4tanα3，所以15cos2α＋16sinα＝0，即15sin2α－16sinα－15＝0.解得sinα＝－35或sinα＝53(舍去)．所以sinα＝－35.(2)因为a⊥b，所以a·b＝0，即12－20cosα·tanα＝0，所以12－20sinα＝0，即sinα＝35.因为α∈0，π2，所以cosα＝45.所以sin2α＝2sinαcosα＝2425，cos2α＝1－2sin2α＝725.所以cos2α－π4＝cos2α·cosπ4＋sin2α·sinπ4＝725×22＋2425×22＝31250.专题八│要点热点探究【点评】第一小问中根据向量平行坐标公式得到三角等式，再将所得等式的三角函数名称统一，解三角方程；第二小问中由向量垂直得到sinα值，再用倍角公式以及和差角公式求出三角函数值．专题八│要点热点探究设平面向量a＝(cosx，sinx)，b＝(cosx＋23，sinx)，c＝(sinα，cosα)，x∈R.(1)若a⊥c，求cos(2x＋2α)的值；(2)若x∈0，π2，证明：a和b不可能平行．专题八│要点热点探究【解答】(1)若a⊥c，则a·c＝0，即cosxsinα＋sinxcosα＝0，sin(x＋α)＝0，所以cos(2x＋2α)＝1－2sin2(x＋α)＝1.(2)证明：假设a与b平行，则cosxsinx－sinx(cosx＋23)＝0，即sinx＝0，而若x∈0，π2，则sinx0，矛盾，所以假设不成立，即a与b不可能平行．规律技巧提炼专题八│规律技巧提炼1．三角化简和求值问题需要先建立已知角和所求角之间的关系，然后分析式子的结构和三角函数的名称，设计化归方向．2．三角函数的化简问题不仅仅在三角函数性质研究中运用，在三角形的研究和向量运算中也有运用，所以三角函数的化简是研究三角函数的基础，复习时注意积累三角函数化简的技巧．3．三角化简和求值中要关注的细节就是角的范围，特别是用平方关系求三角函数值的时候．专题八│课本挖掘提升(教材必修4P23习题15改编)例已知sinx＋π6＝14，则sin56π－x＋sin211π6－x的值为________．课本挖掘提升【分析】本题根据所给角的关系，只需要用诱导公式解决角和角的关系即可，不需要用到二倍角公式以及和差角公式，所以三角化简求值的问题，首先应该考虑角与角的关系．【答案】516【解析】sin56π－x＋sin211π6－x＝sinπ－16π＋x＋sin22π－x＋16π＝sinx＋π6＋sin2x＋π6＝516.专题八│课本挖掘提升已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35.(1)用α＋β，α－β表示2α；(2)求sin2α，cos2α的值．专题八│课本挖掘提升【解答】(1)2α＝(α－β)＋(α＋β)．(2)因为π2＜β＜α＜3π4，所以0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜3π2，又因为cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，所以sin(α－β)＝1－cos2α－β＝513，cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－45.所以sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×－45＋1213×－35＝－5665，cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)＝1213×－45－513×－35＝－3365.专题八│课本挖掘提升