广东高考文科数学真题模拟汇编08：圆锥曲线

11.(2009广州一模文数)椭圆141622yx的离心率为.11．2312.(2010广州二模文数)已知双曲线C:2222100xya,bab的离心率2e,且它的一个顶点到相应焦点的距离为1,则双曲线C的方程为.12.2213yx1、（2010广东文数）7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是A.54B.53C.52D.511、答案B3、（2006广东）已知双曲线9322yx,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于A.2B.332C.2D.43、依题意可知3293,322baca，2332ace，故选C.4（2004广东）若双曲线222(0)xykk的焦点到它相应的准线的距离是2，则k(A)6(B)8(C)1(D)45．（2007广东文数）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点(24)P，，则该抛物线的方程是．5.28yx6(2005广东)若焦点在x轴上的椭圆1222myx的离心率为21，则m=（）A．3B．23C．38D．326【答案】B解:∵轴上焦点在x，∴2a，∵21ace，∴22c，∴23222cabm，故选B．1、（2011•广东文数）设圆C与圆x2+（y﹣3）2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为（）A、抛物线B、双曲线C、椭圆D、圆1解答：解：设C的坐标为（x，y），圆C的半径为r，圆x2+（y﹣3）2=1的圆心为A，∵圆C与圆x2+（y﹣3）2=1外切，与直线y=0相切∴|CA|=r+1，C到直线y=0的距离d=r∴|CA|=d+1，即动点C定点A的距离等于到定直线y=﹣1的距离由抛物线的定义知：C的轨迹为抛物线．故选A19.(2009广州一模文数)(本小题满分14分)设点11(,)Axy、22(,)Bxy是抛物线24xy上不同的两点，且该抛物线在点A、B处的两条切线相交于点C，并且满足0ACBC.(1)求证：124xx；(2)判断抛物线24xy的准线与经过A、B、C三点的圆的位置关系，并说明理由．19．（本小题满分14分）（本小题主要考查圆、抛物线、直线、导数等基础知识和数学探究，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：由24xy，得214yx，则12yx，∴抛物线24xy在点11(,)Axy，22(,)Bxy处的切线的斜率分别为112x，212x.∵0ACBC，∴ACBC.∴抛物线24xy在点11(,)Axy，22(,)Bxy处两切线相互垂直.∴112x2112x.∴124xx.（2）解法1：∵0ACBC，∴ACBC.∴经过,,ABC三点的圆的圆心为线段AB的中点D，圆心D1212(,)22xxyy.∵抛物线24xy的准线方程为1y，∴点D1212(,)22xxyy到直线1y的距离为d1212yy，∵经过,,ABC三点的圆的半径221212()()2xxyyr，由于2114xy，2224xy，且124xx，则212121()116yyxx，∴2222122212121212122()4448()422xxxxyyyyyyyyyyr.即221212121212()4()4(2)212222yyyyyyyyyyr，∴rd.∴抛物线24xy的准线与经过,,ABC三点的圆相切．解法2：由（1）知抛物线24xy在点11(,)Axy处的切线斜率为112x，又,4121yx∴切线AC所在的直线方程为：11212141xxxxy即2114121xxxy.①同理可得,切线BC所在的直线方程为：2224121xxxy.②由①,②得点C的横坐标221xxxC,纵坐标Cy1,即1,221xxC.∵0ACBC，∴ACBC.∴经过,,ABC三点的圆的圆心为线段AB的中点D，圆心D1212(,)22xxyy.∵抛物线24xy的准线方程为1y，∴点D到直线1y的距离为d1212yy，∵经过,,ABC三点的圆的半径1221yyCDr,∴rd.∴抛物线24xy的准线与经过,,ABC三点的圆相切．20.(2010广州二模文数)（本小题满分14分）已知椭圆22122:1(0)xyCabab的右焦点2F与抛物线22:4Cyx的焦点重合，椭圆1C与抛物线2C在第一象限的交点为P，25||3PF.圆3C的圆心T是抛物线2C上的动点,圆3C与y轴交于,MN两点，且||4MN.（1）求椭圆1C的方程；（2）证明:无论点T运动到何处,圆3C恒经过椭圆1C上一定点.20．（本小题满分14分）(本小题主要考查直线、圆、抛物线、椭圆等知识,考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解法1：∵抛物线22:4Cyx的焦点坐标为(1,0)，…1分∴点2F的坐标为(1,0).∴椭圆1C的左焦点1F的坐标为1(1,0)F，抛物线2C的准线方程为1x.设点P的坐标为11(,)xy，由抛物线的定义可知211PFx,∵253PF,（数学驿站）∴1513x，解得123x.由211843yx，且10y,得1263y.∴点P的坐标为22633,.…3分在椭圆1C:22221(0)xyabab中，1c.22221222222||||(1)(60)(1)(60)43333aPFPF.∴222,3abac.∴椭圆1C的方程为22143xy.…6分解法2：∵抛物线22:4Cyx的焦点坐标为(1,0)，…1分∴点2F的坐标为(1,0).∴抛物线2C的准线方程为1x.设点P的坐标为11(,)xy，由抛物线的定义可知211PFx,∵253PF,∴1513x，解得123x.由211843yx，且10y得1263y.∴点P的坐标为22(,6)33.…3分在椭圆1C:22221(0)xyabab中，1c.由222221424199c,abc,.ab解得2,3ab.∴椭圆1C的方程为22143xy.…6分（2）证法1:设点T的坐标为00(,)xy,圆3C的半径为r，∵圆3C与y轴交于,MN两点，且||4MN,∴220||24MNrx.∴204rx.∴圆3C的方程为222000()()4xxyyx.…8分∵点T是抛物线22:4Cyx上的动点,∴2004yx(00x).∴20014xy.把20014xy代入消去0x整理得:22200(1)2()024xyyyxy.…10分方程对任意实数0y恒成立，∴2210,220,40.xyxy解得2,0.xy…12分∵点(2,0)在椭圆1C:22143xy上,∴无论点T运动到何处,圆3C恒经过椭圆1C上一定点2,0.…14分证法2:设点T的坐标为00(,)xy,圆3C的半径为r，∵点T是抛物线22:4Cyx上的动点,∴2004yx(00x).…7分∵圆3C与y轴交于,MN两点，且||4MN,∴220||24MNrx.∴204rx.∴圆3C的方程为222000()()4xxyyx.…9分令00x,则2004yx0,得00y.此时圆3C的方程为224xy.…10分由22224,1,43xyxy解得2,0.xy∴圆3C:224xy与椭圆1C的两个交点为2,0、2,0.…12分分别把点2,0、2,0代入方程进行检验，可知点2,0恒符合方程，点2,0不恒符合方程.∴无论点T运动到何处,圆3C恒经过椭圆1C上一定点2,0.…14分19．(2010广州一模文数)（本小题满分14分）已知动点P到定点2,0F的距离与点P到定直线l：22x的距离之比为22．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设M、N是直线l上的两个点，点E与点F关于原点O对称，若0EMFN，求MN的最小值．19．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：设点,Pxy，依题意，有2222222xyx．整理，得22142xy．所以动点P的轨迹C的方程为22142xy．（2）解：∵点E与点F关于原点O对称，∴点E的坐标为2,0．∵M、N是直线l上的两个点，∴可设122,My，222,Ny（不妨设12yy）．∵0EMFN，∴1232,2,0yy．即1260yy．即216yy．由于12yy，则10y，20y．∴12111166226MNyyyyyy≥．当且仅当16y，26y时，等号成立．故MN的最小值为26．19.(2011广州一模文数)（本小题满分14分）图4已知椭圆222:133xyEaa的离心率12e.直线xt（0t）与曲线E交于不同的两点,MN,以线段MN为直径作圆C,圆心为C．（1）求椭圆E的方程；（2）若圆C与y轴相交于不同的两点,AB，求ABC的面积的最大值.19．（本小题满分14分）(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：∵椭圆222:133xyEaa的离心率12e,∴2312aa.……2分解得2a.∴椭圆E的方程为22143xy．……4分（2）解法1：依题意，圆心为(,0)(02)Ctt．由22,1,43xtxy得221234ty.∴圆C的半径为21232tr．……6分∵圆C与y轴相交于不同的两点,AB，且圆心C到y轴的距离dt，∴212302tt，即22107t．∴弦长22222123||221274tABrdtt．……8分∴ABC的面积211272Stt……9分21712727tt2271271227tt377.……12分当且仅当27127tt，即427t时，等号成立.∴ABC的面积的最大值为377．……14分解法2：依题意，圆心为(,0)(02)Ctt．由22,1,43xtxy得221234ty.∴圆C的半径为21232tr．……6分∴圆C的方程为222123()4txty．∵圆C与y轴相交于不同的两点,AB，且圆心C到y轴的距离dt，∴212302tt，即22107t．在圆C的方程222123()4txty中，令0x，得21272ty，∴弦长2||127ABt．……8分∴ABC的面积211272Stt……9分21712727tt2271271227tt377.……12分当且仅当27127tt，即427t时，等号成立.∴ABC的面积的最大值为377．……14分21．(2011广州二模文数)（本小题满分14分）已知双曲线C：222210xyabab和圆O：222xyb（其中原点O为圆心），过双曲线上一点00,Pxy引圆O的两条切线，切点分别为A、B．（1）若双曲线C上存在点P，使得90APB，求双曲线离心率e的取值范围；（2）求直线AB的方程；（3）求三角形OA