现代设计理论与方法第3章习题解答

第三章优化设计部分习题解答1、优化设计问题的数学模型由哪几个部份组成?其一般的表达形式是什么?答：一般由设计变量，目标函数和约束条件组成。其一般表达式为：min(),..()01,2,,()01,2,,njkfRstgjmhklxxxx2、判断下列目标函数是否有极值点。122212221122(1)()(2)()(3)()346FXxxFXxxFXxxxx解：（1）2*10()000xFXXx*X处的Hessen矩阵为：122112*202120()()01()()()10xxFXFXxxxHXFXFXxxx其二阶代数主子式**()10HX故知目标函数没有极值点。（2）同理，无极值点（3）存在极值点，**[0,0],()6TXFX3、确定函数3()389fxxx的一个搜索区间，初始点00x，初始步长00.1h。解：可依照进退法搜索的思路进行，（1）第一步搜索0010,()9xfxf100210.1,()8.203xxhffx12ff（2）第二步搜索令0020.2hh，300330.2,()7.424xxhffx2323,xxff，此时令1122230.1,8.2030.2,7.424xffxff（3）第三步搜索令0020.4hh，310330.5,()5.375xxhffx2323,xxff，此时令121223230.2,7.4240.5,5.375xxffxxff（4）第四步搜索令0020.8hh，310331,()4xxhffx2323,xxff，此时令121223230.5,5.3751,4xxffxxff（5）第五步搜索令0021.6hh，310332.1,()19.983xxhffx2323,xxff，故初始搜索区间为13[,][0.5,2.1]xx4、按二次插值法框图步骤，计算函数32()8273fxxxx的最优解，初始搜索区间[0,2]，迭代精度0.01。解：1.确定初始区间初始区间[,][0,2]ab另有一中间点21x。2.用二次插值法逼近极小点相邻三点的函数值:1231230,1,2;3,2,45xxxfff代入公式：222222*2313121232313121231()()()2()()()pxxfxxfxxfxxxfxxfxxf得：**0.523,0.063ppxxf由于：**22,ppxxxff，新区间为：2[,][,][0,1]abax*20.4770.01pxx，故应继续迭代。3.新区间，相邻三点的函数值:1231230,0.523,1;3,0.063,2xxxfff代入公式：222222*2313121232313121231()()()2()()()pxxfxxfxxfxxxfxxfxxf得：**0.549,0.122ppxxf由于：**22,ppxxxff，新区间为：23[,][,][0.523,1]abxx*20.0260.01pxx，故继续迭代。4.新区间，相邻三点的函数值:1231230.523,0.549,1;0.063,0.122,2xxxfff代入公式：222222*2313121232313121231()()()2()()()pxxfxxfxxfxxxfxxfxxf得：**0.613,0.2ppxxf由于：**22,ppxxxff，新区间为：23[,][,][0.549,1]abxx*20.0640.01pxx，故继续迭代。5.新区间，相邻三点的函数值:1231230.549,0.613,1;0.122,0.2,2xxxfff代入公式：222222*2313121232313121231()()()2()()()pxxfxxfxxfxxxfxxfxxf得：**0.621,0.202ppxxf由于：**22,ppxxxff，新区间为：23[,][,][0.621,1]abxx*20.0080.01pxx，故继续迭代。故最优点**0.621,0.202ppxxf。5、试用黄金分割法计算函数32()8273fxxxx的最优解，初始搜索区间[0,2]，迭代精度0.01。解：1.初始区间：12[,][,][0,2]abxx，新点：110.382()0.764,0.052xabaf，220.618()1.236,6.398xabaf由于1212,xxff，新区间：2[,][,][0,1.236]abax，1.2360.01ba2.初始区间：[,][0,1.236]ab，新点：21210.764,0.052xxff110.382()0.472,0.092xabaf由于1212,xxff，新区间：1[,][,][0.274,1.236]abxb，0.7640.01ba3初始区间：[,][274,1.236]ab，新点：12120.764,0.052xxff220.618()0.944,1.34xabaf由于1212,xxff，新区间：2[,][,][0.472,0.944]abax，0.4720.01ba4初始区间：[,][0.472,0.944]ab，新点：21210.764,0.052xxff110.382()0.652,0.197xabaf由于1212,xxff，新区间：2[,][,][0.472,0.764]abax，0.2920.01ba，继续迭代。依次经过多次迭代后，可得**0.631,0.2034ppxxf6、目标函数322212312132()24266FXxxxxxxxx。求：①在点[1,2,1]TX处的梯度矢量；②在点[1,2,1]TX处沿S方向的方向导数。已知方向S的其中两个方向余弦为12cos0.7,cos0.2。并说明沿该方向搜索时，函数是增加还是减少?解：（1）12322123211313216264()8211721214xxxxxxFXxxxxx（2）由12cos0.7,cos0.2得3cos0.686111122223333123123111122221111coscoscos[4,17,14][0.7,0.2,0.686][2.8,3.4,9.6]TTxxxxxxxxxxxxffffSxxx（3）()[4,17,14][2.8,3.4,9.6]203.40TFFXS故函数值是增加的。9、目标函数22121212()60104FXxxxxxx。已知沿()[10,4]kTS方向搜索到(1)[7,3]kTX，试求此点下一次迭代的共轭梯度方向(1)kS。解：1212172131021()4217kxxxxfxxx10()4kfx212()2902.5116()kkkfxfx(1)1()()110292.81846.8kkkkSfSx8、写出用内点法、外点法和混合法求解问题A的罚函数形式。12211221min()..()0()0FXxxstgXxxgXx解：内点法：212211(,)ln()ln()kkxrxxrxxrx外点法：22212121(,)max(0,)max(0,)kkrxxrxxrxx混合法：21221(,)ln()1222121ln()11max(0,)max(0,)kxDxDxDxDkrxxrxxkkrxxxxrrx9、试比较约束优化和无约束优化之间的区间和联系。答：无约束优化对于设计变量没有限制，搜索空间内的点都是可行解，而约束优化则有限制条件，只有在可行域内的点才是可行解。无约束优化是约束优化的基础，通过罚函数的方法可以将约束优化问题化为无约束优化问题求解。