概率论与数理统计谢永钦-主编北京邮电大学出版社

习题一：1.用复数的代数形式a+ib表示下列复数。iπ/435i13;;(2i)(43i);71i1iei.①解：i4πππ2222ecosisinii442222②解：35i17i35i198i7i11+7i17i2525③解：2i43i834i6i510i④解：31i1335=iii1i2222.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy)。(zaaza);3331i31i3;;;i.22nz①解：∵设z=x+iy又22iiiiiixayxayxyaxayzazaxyaxayxay∴22222Rezaxayzaxay,222Imzaayzaxay．②解：设z=x+iy∵323222222223223iii2ii22i33izxyxyxyxyxyxyxxyxyyxyxyxxyxyy∴332Re3zxxy,323Im3zxyy．③解：∵332321i31i3113133133288180i18∴1i3Re12,1i3Im02．④解：∵2332313133133i1i328180i18∴1i3Re12,1i3Im02．⑤解：∵1,2i211i,knknkknk．∴当2nk时，Rei1kn，Imi0n；当21nk时，Rei0n，Imi1kn．3.求下列复数的模和共轭复数.①．2i415．2i2i②．3333③．2i32i2i32i51365．2i32i2i32i2i32i47i④．1i1i22221i1i1i2224.证明：当且仅当zz时，z才是实数．证明：若zz，设izxy，则有iixyxy，从而有2i0y，即y=0∴z=x为实数．若z=x，x∈，则zxx．∴zz．命题成立．5.设z,w∈，证明：zwzw≤证明：∵2zwzwzwzwzw22222Rezzzwwzwwzzwzwwzwzw2222222zwzwzwzwzw≤∴zwzw≤．6.设z,w∈，证明下列不等式．2222Rezwzzww2222Rezwzzww22222zwzwzw并给出最后一个等式的几何解释．证明：2222Rezwzzww在上面第五题的证明已经证明了．下面证2222Rezwzzww．∵222zwzwzwzwzwzzwwzw222Rezzww．从而得证．∴22222zwzwzw几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.下列复数表示为指数形式或三角形式．①．35i17i35i7i117i17i3816i198i17e50255i其中8πarctan19．②．eii其中π2．π2eii③．ππii1ee④．28π13i16ππ3.∴2πi38π13i16πe⑤．32π2πcosisin99解：∵32π2πcosisin199．∴322πiπ.3i932π2πcosisin1ee998.计算⑴i的三次根．解：133ππ2π2πππ22icossincosisin0,1,22233kkik∴1ππ31cosisini6622z．25531cosπisinπi6622z39931cosπisinπi6622z⑵-1的三次根解：1332π+π2ππ1cosπisinπcosisin0,1,233kkk∴1ππ13cosisini3322z2cosπisinπ1z35513cosπisinπi3322z⑶33i的平方根．解：πi42233i=6i6e22∴1π12i44ππ2π2π4433i6e6cosisin0,122kkk∴π11i8441ππ6cosisin6e88z911πi8442996cosπisinπ6e88z．9.设2πienz，n≥2．证明．110nzz．证明：∵2πienz∴1nz，即10nz．∴1110nzzz又∵n≥2．∴z≠1从而211+0nzzz.10.略.11.设Γ是圆周{z:|z-c|=r}．r0，a=c+reiα．令∠β={z:Imzab=0}其中b=eiβ，求出∠在α切于圆周Γ的关于β的充要条件．解：如图所示．因为∠β={z:Imzab=0}表示通过点a且方向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，则CA⊥∠β．过C作直线平行∠β，则有∠BCD=β，∠ACB=90°故α-β=90°所以∠β在α处切于圆周T的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.(1)argz=π．表示负实轴．(2)|z-1|=|z|．表示直线z=12．(3)1|z+i|2解：表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环城(4)Re(z)Imz．解：表示直线y=x的右下半平面(5)Imz1，且|z|2．解：表示圆盘内的一方形城习题二1.求映射1wzz下圆周||2z的像.解：设i,izxywuv则2222221iiiii()ixyxyuvxyxyxyxyxyxyxy因为224xy,所以53i44uivxy所以54ux,34vy5344,uvxy所以222253444uv即222253221uv，表示椭圆.2.在映射2wz下，下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设eiw或iwuv.（1）π02,4r；（2）π02,04r;(3)x=a,y=b.(a,b为实数)解：设222i()2iwuvxiyxyxy所以22,2.uxyvxy(1)记iew，则π02,4r映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段，即π04,.2(2)记iew，则π0,024r映成了w平面上扇形域，即π04,0.2(3)记iwuv，则将直线x=a映成了22,2.uayvay即2224().vaau是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y=b映成了22,2.uxbvxb即2224()vbbu是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示.3.求下列极限.(1)21lim1zz;解：令1zt,则,0zt.于是22201limlim011zttzt.(2)0Re()limzzz;解：设z=x+yi，则Re()izxzxy有000Re()1limlimi1izxykxzxzxkxk显然当取不同的值时f(z)的极限不同所以极限不存在.（3）2iilim(1)zzzz；解：2iilim(1)zzzz=iii11limlim(i)(i)(i)2zzzzzzzz.（4）2122lim1zzzzzz.解：因为222(2)(1)2,1(1)(1)1zzzzzzzzzzz所以2112223limlim112zzzzzzzzz.4.讨论下列函数的连续性：(1)22,0,()0,0;xyzxyfzz解：因为220(,)(0,0)lim()limzxyxyfzxy,若令y=kx,则222(,)(0,0)lim1xyxykxyk,因为当k取不同值时，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0处极限不存在.从而f(z)在z=0处不连续，除z=0外连续.(2)342,0,()0,0.xyzfzxyz解：因为33422022xyxxyxyxy,所以342(,)(0,0)lim0(0)xyxyfxy所以f(z)在整个z平面连续.5.下列函数在何处求导？并求其导数.(1)1()(1)nfzz(n为正整数)；解：因为n为正整数，所以f(z)在整个z平面上可导.1()(1)nfznz.(2)22()(1)(1)zfzzz.解：因为f(z)为有理函数，所以f(z)在2(1)(1)0zz处不可导.从而f(z)除1,izz外可导.2222232222(2)(1)(1)(2)[(1)(1)]()(1)(1)2543(1)(1)zzzzzzfzzzzzzzz(3)38()57zfzz.解：f(z)除7=5z外处处可导，且223(57)(38)561()(57)(57)zzfzzz.(4)2222()ixyxyfzxyxy.解：因为2222222i()ii(i)(i)(1i)(1i)1i()xyxyxyxyxyzfzxyxyxyzz.所以f(z)除z=0外处处可导，且2(1i)()fzz.6.试判断下列函数的可导性与解析性.(1)22()ifzxyxy;解：22(,),(,)uxyxyvxyxy在全平面上可微.22,2,2,uuvvyxyxyxxyxy所以要使得uvxy，uvyx,只有当z=0时,从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.(2)22()ifzxy.解：22(,),(,)uxyxvxyy在全平面上可微.2,0,0,2uuvvxyxyxy只有当x=y时,即(0,0)处有uvxy,uvyy.所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.(3)33()23ifzxy;解：33(,)2,(,)3uxyxvxyy在全平面上可微.226,0,9,0uuvvxyxyxy所以只有当23xy时，才满足C-R方程.从而f(z)在230xy处可导，在全平面不解析.(4)2()fzzz.解：设izxy，则23232()(i)(i)i()fzxyxyxxyyxy3232(,),(,)uxyxxyvxyyxy22223,2,2,3uuvvxyxyxyyxxyxy所以只有当z=0时才满足C-R方程.从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.7.证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数.(1)()0fz;证明