函数的定义域与值域

第五节函数的定义域与值域[归纳·知识整合]1．常见基本初等函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为R.(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．(6)y＝tanx的定义域为x|x≠kπ＋π2，k∈Z.(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．2．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a0时，值域为y|y≥4ac－b24a；当a0时，值域为y|y≤4ac－b24a.(3)y＝kx(k≠0)的值域是{y|y≠0}．(4)y＝ax(a0且a≠1)的值域是{y|y0}．(5)y＝logax(a0且a≠1)的值域是R.(6)y＝sinx，y＝cosx的值域是[－1,1]．(7)y＝tanx的值域是R.[探究]1.若函数y＝f(x)的定义域和值域相同，则称函数y＝f(x)是圆满函数，则函数①y＝1x；②y＝2x；③y＝x；④y＝x2中是圆满函数的有哪几个？2．分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系？[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)函数f(x)＝4－xx－1的定义域为()A．[－∞，4]B．[4，＋∞)C．(－∞，4)D．(－∞，1)∪(1,4]2．下表表示y是x的函数，则函数的值域是()x0x55≤x1010≤x1515≤x≤20y2345A．[2,5]B．NC．(0,20]D．{2,3,4,5}3．若f(x)＝1log122x＋1，则f(x)的定义域为()A.－12，0B.－12，0C.－12，＋∞D．(0，＋∞)4．(教材改编题)函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的定义域为________，值域为________．5．(教材改编题)若x－4有意义，则函数y＝x2－6x＋7的值域是________．求函数的定义域[例1](1)(2012·山东高考)函数f(x)＝1lnx＋1＋4－x2的定义域为()A．[－2,0)∪(0,2]B．(－1,0)∪(0,2]C．[－2,2]D．(－1,2](2)已知函数f(x2－1)的定义域为[0,3]，则函数y＝f(x)的定义域为________．本例(2)改为f(x)的定义域为[0,3]，求y＝f(x2－1)的定义域．———————————————————简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)对抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．1．(1)(2012·江苏高考)函数f(x)＝1－2log6x的定义域为________．(2)已知f(x)的定义域是[－2,4]，求f(x2－3x)的定义域．求函数的值域[例2]求下列函数的值域：(1)y＝x－3x＋1；(2)y＝x－1－2x；(3)y＝x＋4x.若将本例(3)改为“y＝x－4x”，如何求解？———————————————————求函数值域的基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y＝ax＋b±cx＋d(a，b，c，d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋a－bx2的函数用三角函数代换求值域．4分离常数法：形如y＝cx＋dax＋ba≠0的函数可用此法求值域.5单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域.6数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围.2．求下列函数的值域．(1)y＝x2＋2x，x∈[0,3]；(2)y＝x2－xx2－x＋1；(3)y＝log3x＋logx3－1.与定义域、值域有关的参数问题[例3]已知函数f(x)＝ax2＋bx.若至少存在一个正实数b，使得函数f(x)的定义域与值域相同，求实数a的值．———————————————————由函数的定义域或值域求参数的方法已知函数的值域求参数的值或取值范围问题，通常按求函数值域的方法求出其值域，然后依据已知信息确定其中参数的值或取值范围．3．(2013·温州模拟)若函数f(x)＝1x－1在区间[a，b]上的值域为13，1，则a＋b＝________.1种意识——定义域优先意识函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先的意识．4个注意——求函数定义域应注意的问题(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x的集合．(2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．4个准则——函数表达式有意义的准则函数表达式有意义的准则一般有：①分式中的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0；④对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.6种技巧——妙求函数的值域(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解.易误警示——与定义域有关的易错问题[典例](2013·福州模拟)函数f(x)＝x＋12x＋1－1－x的定义域为________________．[易误辨析]1．本题若将函数f(x)的解析式化简为f(x)＝(x＋1)－1－x后求定义域，会误认为其定义域为(－∞，1]．事实上，上述化简过程扩大了自变量x的取值范围．2．在求函数的值域时，要特别注意函数的定义域．求函数的值域时，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用．[变式训练]1．若函数f(x)的值域是12，3，则函数F(x)＝f(x)＋1fx的值域是()A.12，5B.56，5C.2，103D.3，1032．已知函数f(x＋2)＝x＋2x，则函数f(x)的值域为________．一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知a为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R的是()A．f(x)＝x2＋aB．f(x)＝ax2＋1C．f(x)＝ax2＋x＋1D．f(x)＝x2＋ax＋12．已知等腰△ABC周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y＝10－2x，则函数的定义域为()A．RB．{x|x0}C．{x|0x5}D.x|52x53．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是()4．(2013·南昌模拟)函数y＝xx－1－lg1x的定义域为()A．{x|x0}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1，或x0}D．{x|0x≤1}5．函数y＝2－－x2＋4x的值域是()A．[－2,2]B．[1,2]C．[0,2]D．[－2，2]6．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝gx＋x＋4，xgx，gx－x，x≥gx，则f(x)的值域是()A.－94，0∪(1，＋∞)B.)[0，＋∞C.－94，＋∞D.－94，0∪(2，＋∞)二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．函数y＝16－x－x2的定义域是________．8．设x≥2，则函数y＝x＋5x＋2x＋1的最小值是______．9．(2013·厦门模拟)定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a；当ab时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]，则函数f(x)的值域为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．若函数f(x)＝12x2－x＋a的定义域和值域均为[1，b](b1)，求a，b的值．11．设O为坐标原点，给定一个定点A(4,3)，而点B(x,0)在x轴的正半轴上移动，l(x)表示AB的长，求函数y＝xlx的值域．12．已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．1．下列函数中，与函数y＝1x有相同定义域的是()A．f(x)＝lnxB．f(x)＝1xC．f(x)＝|x|D．f(x)＝ex2．函数y＝lnx＋1－x2－3x＋4的定义域为()A．[－4，－1)B．(－4,1)C．(－1,1)D．(－1,1]3．若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f2xx－1的定义域是()A．[0,1]B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4]D．(0,1)4．已知函数f(x)＝13x，x∈[－1,1]，函数g(x)＝f2(x)－2af(x)＋3的最小值为h(a)．(1)求h(a)的解析式；(2)是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①mn3；②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．[探究]1.提示：①y＝1x的定义域和值域都是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故函数y＝1x是圆满函数；②y＝2x的定义域和值域都是R，故函数y＝2x是圆满函数；③y＝x的定义域和值域都是[0，＋∞)，故y＝x是圆满函数；④y＝x2的定义域为R，值域为[0，＋∞)，故函数y＝x2不是圆满函数．2．提示：分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集．[自测·牛刀小试]1．解析：选D要使函数f(x)＝4－xx－1有意义，只需4－x≥0，x－1≠0，即x≤4，x≠1.所以函数的定义域为(－∞，1)∪(1,4]．2．解析：选D函数值只有四个数2,3,4,5，故值域为{2,3,4,5}．3．解析：选A根据题意得log12(2x＋1)＞0，即0＜2x＋1＜1，解得－12x0，即x∈－12，0.4．解析：由图象可知，函数y＝f(x)的定义域为[－6,0]∪[3,7)，值域为[0，＋∞)．答案：[－6,0]∪[3,7)[0，＋∞)5．解析：∵x－4有意义，∴x－4≥0，即x≥4.又∵y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2，∴ymin＝(4－3)2－2＝1－2＝－1.∴其值域为[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)[例1][自主解答](1)x满足x＋10，x＋1≠1，4－x2≥0，即x－1，x≠0，－2≤x≤2.解得－1x0或0x≤2.(2)∵0≤x≤3，∴0≤x2≤9，－1≤x2－1≤8.∴函数y＝f(x)的定义域为[－1,8]．[答案](1)B(2)[－1,8]解：∵y＝f(x)的定义域为[0,3]，∴0≤x2－1≤3，解得－2≤x≤－1或1≤x≤2，所以函数定义域为[－2，－1]∪[1,2]．1．解析：(1)由1－2log6x≥0解得log6x≤12⇒0＜x≤6，故所求定义域为(0，6]．答案：(0，6](2)∵f(x)的定义域是[－2,4]，∴－2≤