第4讲基本不等式【2013年高考会这样考】1.考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题.2.考查应用基本不等式解决实际问题.【复习指导】1.突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练.2.训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养.基础梳理1.基本不等式:ab≤a+b2(1)基本不等式成立的条件:.(2)等号成立的条件:当且仅当时取等号.2.几个重要的不等式(1)a2+b2≥(a,b∈R);(2)ba+ab≥2(a,b同号);(3)ab≤a+b22(a,b∈R);(4)a2+b22≥a+b22(a,b∈R).a>0,b>0a=b2ab3.算术平均数与几何平均数设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为a+b2,几何平均数为ab,基本不等式可叙述为.4.利用基本不等式求最值问题已知x>0,y>0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当时,x+y有最值是2p.(简记:积定和最小)(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当时,xy有最大值是p24.(简记:和定积最大)两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数x=yx=y小一个技巧运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如a2+b2≥2ab逆用就是ab≤a2+b22;a+b2≥ab(a,b>0)逆用就是ab≤a+b22(a,b>0)等.还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等.两个变形(1)a2+b22≥a+b22≥ab(a,b∈R,当且仅当a=b时取等号);(2)a2+b22≥a+b2≥ab≥21a+1b(a>0,b>0,当且仅当a=b时取等号).这两个不等式链用处很大,注意掌握它们.三个注意(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可.(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.(3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.双基自测1.(人教A版教材习题改编)函数y=x+1x(x>0)的值域为().A.(-∞,-2]∪[2,+∞)B.(0,+∞)C.[2,+∞)D.(2,+∞)解析∵x>0,∴y=x+1x≥2,当且仅当x=1时取等号.答案C2.下列不等式:①a2+1>2a;②a+bab≤2;③x2+1x2+1≥1,其中正确的个数是().A.0B.1C.2D.3解析①②不正确,③正确,x2+1x2+1=(x2+1)+1x2+1-1≥2-1=1.答案B3.若a>0,b>0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为().A.12B.1C.2D.4解析∵a>0,b>0,a+2b=2,∴a+2b=2≥22ab,即ab≤12.答案A4.(2011·重庆)若函数f(x)=x+1x-2(x>2)在x=a处取最小值,则a=().A.1+2B.1+3C.3D.4解析当x>2时,x-2>0,f(x)=(x-2)+1x-2+2≥2x-2×1x-2+2=4,当且仅当x-2=1x-2(x>2),即x=3时取等号,即当f(x)取得最小值时,x=3,即a=3.答案C5.已知t>0,则函数y=t2-4t+1t的最小值为________.解析∵t>0,∴y=t2-4t+1t=t+1t-4≥2-4=-2,当且仅当t=1时取等号.答案-2考向一利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则1x+1y的最小值为________;(2)当x>0时,则f(x)=2xx2+1的最大值为________.[审题视点]第(1)问把1x+1y中的“1”代换为“2x+y”,展开后利用基本不等式;第(2)问把函数式中分子分母同除“x”,再利用基本不等式.解析(1)∵x>0,y>0,且2x+y=1,∴1x+1y=2x+yx+2x+yy=3+yx+2xy≥3+22.当且仅当yx=2xy时,取等号.(2)∵x>0,∴f(x)=2xx2+1=2x+1x≤22=1,当且仅当x=1x,即x=1时取等号.答案(1)3+22(2)1利用基本不等式求函数最值时,注意“一正、二定、三相等,和定积最大,积定和最小”.常用的方法为:拆、凑、代换、平方.【训练1】(1)已知x>1,则f(x)=x+1x-1的最小值为________.(2)已知0<x<25,则y=2x-5x2的最大值为________.(3)若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,则x+y的最小值为________.解析(1)∵x>1,∴f(x)=(x-1)+1x-1+1≥2+1=3当且仅当x=2时取等号.(2)y=2x-5x2=x(2-5x)=15·5x·(2-5x),∵0<x<25,∴5x<2,2-5x>0,∴5x(2-5x)≤5x+2-5x22=1,∴y≤15,当且仅当5x=2-5x,即x=15时,ymax=15.(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,∴2y+8x=1,∴x+y=(x+y)8x+2y=10+8yx+2xy=10+24yx+xy≥10+2×2×4yx·xy=18,当且仅当4yx=xy,即x=2y时取等号,又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6,∴当x=12,y=6时,x+y取最小值18.答案(1)3(2)15(3)18考向二利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a>0,b>0,c>0,求证:bca+cab+abc≥a+b+c.[审题视点]先局部运用基本不等式,再利用不等式的性质相加得到.证明∵a>0,b>0,c>0,∴bca+cab≥2bca·cab=2c;bca+abc≥2bca·abc=2b;cab+abc≥2cab·abc=2a.以上三式相加得:2bca+cab+abc≥2(a+b+c),即bca+cab+abc≥a+b+c.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.【训练2】已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1.求证:1a+1b+1c≥9.证明∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,∴1a+1b+1c=a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc=3+ba+ca+ab+cb+ac+bc=3+ba+ab+ca+ac+cb+bc≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c=13时,取等号.考向三利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过5m.房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为5800元,如果墙高为3m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低?[审题视点]用长度x表示出造价,利用基本不等式求最值即可.还应注意定义域0<x≤5;函数取最小值时的x是否在定义域内,若不在定义域内,不能用基本不等式求最值,可以考虑单调性.解由题意可得,造价y=3(2x×150+12x×400)+5800=900x+16x+5800(0<x≤5),则y=900x+16x+5800≥900×2x×16x+5800=13000(元),当且仅当x=16x,即x=4时取等号.故当侧面的长度为4米时,总造价最低.解实际应用题要注意以下几点:(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数;(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值;(3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练3】(2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元科技成本.并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=80n+1.若水晶产品的销售价格不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.(1)求出f(n)的表达式;(2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?解(1)第n次投入后,产量为(10+n)万件,销售价格为100元,固定成本为80n+1元,科技成本投入为100n万元.所以,年利润为f(n)=(10+n)100-80n+1-100n(n∈N*).(2)由(1)知f(n)=(10+n)100-80n+1-100n=1000-80n+1+9n+1≤520(万元).当且仅当n+1=9n+1,即n=8时,利润最高,最高利润为520万元.所以,从今年算起第8年利润最高,最高利润为520万元.【问题诊断】利用基本不等式求最值是高考的重点,其中使用的条件是“一正、二定、三相等”,在使用时一定要注意这个条件,而有的考生对基本不等式的使用条件理解不透彻,使用时出现多次使用不等式时等号成立的条件相矛盾.【防范措施】尽量不要连续两次以上使用基本不等式,若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等.阅卷报告8——忽视基本不等式成立的条件致误【示例】►已知a>0,b>0,且a+b=1,求1a+2b的最小值.实录∵a>0,b>0,且a+b=1,∴ab≤a+b22=14.又1a+2b≥22ab,而ab≤14,∴1ab≥4,∴1a+2b≥28=42,故1a+2b的最小值为42.错因两次基本不等式成立的条件不一致.正解∵a>0,b>0,且a+b=1,∴1a+2b=1a+2b(a+b)=1+2+ba+2ab≥3+2ba·2ab=3+22.当且仅当a+b=1,ba=2ab,即a=2-1,b=2-2时,1a+2b的最小值为3+22.【试一试】(2010·四川)设a>b>0,则a2+1ab+1aa-b的最小值是().A.1B.2C.3D.4[尝试解答]a2+1ab+1aa-b=a2-ab+ab+1ab+1aa-b=a(a-b)+1aa-b+ab+1ab≥2aa-b·1aa-b+2ab·1ab=2+2=4.当且仅当a(a-b)=1aa-b且ab=1ab,即a=2b时,等号成立.答案D单击此处进入活页限时训练