2014・新课标高考总复习・数学2-14定积分与微积分基本定理

抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）第十四节定积分与微积分基本定理抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）一、定积分1．定积分的定义及相关概念设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上，用分点a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b，把区间[a，b]分为n个小区间，其长度依次为Δxi＝xi＋1－xi，i＝0,1,2，…，n－1，记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi，作和式In＝，抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作，即∫baf(x)dx＝.其中f(x)叫做被积函数，叫积分下限，叫积分上限，叫做被积式，此时称函数f(x)在区间上可积．abf(x)dx[a，b]抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）[疑难关注]1．定积分计算中应注意(1)被积函数若含有绝对值号，应去绝对值号，再分段积分；(2)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量；(3)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限．2．利用定积分求曲边梯形的面积时，一是要合理准确的将图形划分，二是注意面积非负而定积分的结果可以为负．抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）1．(课本习题改编)1e1xdx＝()A．1B．eC．－1D．－e解析：1e1xdx＝lnxe1＝lne－ln1＝1.选A.答案：A抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）2．(2013年济南模拟)曲线y＝x与x＝1，x＝4及x轴所围成的封闭图形的面积为()A.143B.53C.103D.163解析：所求的封闭图形的面积为S＝14xdx＝23x3241＝143.答案：A3．(2011年高考福建卷)01(ex＋2x)dx等于()A．1B．e－1C．eD．e＋1解析：01(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)10＝(e1＋1)－e0＝e.答案：C抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）4．(2013年武汉模拟)曲线y＝2x2与x轴及直线x＝1所围图形的面积为________．解析：依题意得，曲线y＝2x2与x轴及直线x＝1所围图形的面积为012x2dx＝23x310＝23.答案：235．(课本习题改编)汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的路程是________．解析：s＝12(3t＋2)dt＝32t2＋2t21＝32×4＋4－32＋2＝10－72＝132(m)．答案：6.5m抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）考向一定积分的计算[例1](1)计算定积分1－1(x2＋sinx)dx＝________.(2)(2013年长春模拟)设f(x)＝x2，x∈[0，1]，1x，x∈1，e]，(e为自然对数的底数)，则0ef(x)dx的值为________．[解析](1)求导逆运算确定定积分．∵13x3－cosx′＝x2＋sinx，∴1－1(x2＋sinx)dx＝13x3－cosx1－1＝23.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）(2)依题意得0ef(x)dx＝01x2dx＋1e1xdx＝x3310＋lnxe0＝13＋1＝43.[答案](1)23(2)43抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）1．本例(1)若变为计算定积分“∫π20sin2x2dx＋1－11－x2dx＝________解析：∫π20sin2x2dx＝∫π201－cosx2dx＝12x－12sinxπ20＝π4－12，利用几何意义求得1－11－x2dx＝π2，∴原式＝3π－24.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）2．本例(2)若变为“f(x)＝ex，x∈[0，1]，”x，x∈1，e]，试求0ef(x)dx的值．解析：0ef(x)dx＝01exdx＋1exdx＝ex10＋12x2e0＝e－1＋12e2－12＝12e2＋e－32.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）考向二求曲边梯形的面积[例2](2012年高考上海卷)已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，B12，1，C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________．[解析]先求出f(x)的解析式，再求出y＝xf(x)的解析式，画出y＝xf(x)的图象，应用积分求出图形面积．根据题意作出y＝f(x)的图象，如图(1)所示，由图(1)可知，f(x)＝2x，0≤x12，2－2x，12≤x≤1，抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）∴y＝xf(x)＝2x2，0≤x12，－2x2＋2x，12≤x≤1，作出函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象如图(2)所示．抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形如图(2)阴影部分，∴S阴影＝∫1202x2dx＋112(－2x2＋2x)dx＝23x3120－23x3112＋x2112＝14.[答案]14抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）1.(2013年郑州模拟)如图，曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为()A.23B.13C.12D14解析：注意到曲线y＝x2(x≥0)与y＝14的交点的横坐标是12，因此所求图形的面积等于∫12014－x2dx＋112x2－14dx＝x4－13x3120＋13x3－x4112＝14，选D.答案：D抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）考向三定积分在物理中的应用[例3](2013年广州模拟)物体A以v＝3t3＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后物体A追上物体B所用的时间t(s)为()A．3B．4C．5D．6[解析]因为物体A在t秒内行驶的路程为0t(3t2＋1)dt，物体B在t秒内行驶的路程为0t10tdt，所以0t(3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)t0＝t3＋t－5t2＝5⇒(t－5)(t2＋1)＝0，即t＝5.[答案]C抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）2．一物体在变力F(x)＝5－x2(力的单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)作的功为()A.3JB.233JC.433JD．23J解析：由于F(x)与位移方向成30°角．如图：F在位移方向上的分力F′＝F·cos30°，W＝12(5－x2)·cos30°dx＝3212(5－x2)dx＝325x－13x321＝32×83＝433(J)．答案：C抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）【创新探究】定积分与概率求法的创新问题【典例】(2012年高考福建卷)如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.14B.15C.16D.17【思路导析】利用定积分求出阴影部分的面积后，根据几何概型求概率．抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）【解析】∵S阴影＝01(x－x)dx＝23x32－12x210＝23－12＝16，又S正方形OABC＝1，∴由几何概型知，P恰好取自阴影部分的概率为161＝16.【答案】C【高手支招】定积分的计算常与概率求法，二项式定理的应用等交汇创新命题，解决此类创新问题的关键在于一是计算准确定积分值，或利用定积分求参数值．二是利用交汇点解决所给出的问题．抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）1．(2012年高考湖北卷)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()A.2π5B.43C.32D.π2解析：用待定系数法求出二次函数解析式．根据f(x)的图象可设f(x)＝a(x＋1)(x－1)(a0)．因为f(x)的图象过(0,1)点，所以－a＝1，即a＝－1.所以f(x)＝－(x＋1)(x－1)＝1－x2.所以S＝1－1(1－x2)dx＝201(1－x2)dx＝2x－13x310＝21－13＝43.答案：B抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）2．(2012年高考山东卷)设a0，若曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.解析：利用定积分的几何意义求解．S＝0axdx＝23x32a0＝23a32＝a2，∴a＝49.答案：49抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）本小节结束请按ESC键返回