2016届原创§35-导数的应用--导数不等式(二)

一、常见的题型：二、辅助函数的构造：三、常见的技巧：1.直接法2.间接法切线法换元法参量分类法辅助函数要巧设有利求导定单调3.放缩法1.先猜后证2.二导法§35导数的应用--导数不等式(二)作差法先猜后证二导法变换主元放缩法4.变换主元法……法概念导数概述求导应用数学其他学科导数积分①求切线斜率②判定单调性③求极值④求最值⑤堪根⑥解证不等式⑦证等式……⑨数列求和⑧曲边梯形面积xfxfnxfnn/1/])([])(①[xfaaaxfxf//]ln[][②]ln1[axfxfxfxf//]cos[]sin④[xfxfxf//]sin[－]cos⑤[1'nnnxxxxcossin'xxsincos'aaaxxln''logxaaxln1/]log[③xfaxf/几个常见的二重复合函数的求导公式CxdxCdx0CedxexxCxxdxcossinCxxdxsincos)1(11nCxdxxnnnCxdxx||ln1Caadxaxxlndxxgbdxxfadxxbgxaf)()()]()([)(])([/xfdxxfCxfdxxf)()(/③①②常见的不定积分公式⑦④⑨⑤⑥⑩⑧,割线极限是切线一导本身是斜率必须切点横坐标切点坐标及斜率知一有二基本功在即切点过待定1.一导：切线的斜率bkxy00)(00xfy10100/)(xxyyxfk),(000yxP),(111yxP导数的几何意义导数的几何意义2.二导：曲线的曲率：二导意义是曲率大凹小凸○拐点.],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(),(,),(,],[)(上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在二阶导数内具有在上连续在如果baxfxfbaxfxfbababaxfxyo)(xfyxyo)(xfyabAB递增)(xfabBA0y递减)(xf0y递增)(xf0y递减)(xf0y定积分的几何意义badxxf)(badxxf]0)([dxxfxfba)]()([21dxxfxfba)]()([后前一重积分是面积前上为正下相反有上有下代数和同理可得右为前常见结论要熟知化繁为简巧割补定积分的几何意义一重积分是面积前上为正下相反有上有下代数和同理可得右为前常见结论要熟知化繁为简巧割补Sdxxfxfba)]()([后前axbx)(xfy前)(xfy后一重积分是面积前上为正下相反有上有下代数和同理可得右为前常见结论要熟知化繁为简巧割补Sdxxfxfba)]()([后前axbx)(xfy后)(xfy前定积分的几何意义一重积分是面积前上为正下相反有上有下代数和同理可得右为前常见结论要熟知化繁为简巧割补axbx)(xfy后)(xfy前321)]()([SSSdxxfxfba后前定积分的几何意义一重积分是面积前上为正下相反有上有下代数和同理可得右为前常见结论要熟知化繁为简巧割补)(yfx后)(yfx前Sdyyfyfba)]()([后前byay定积分的几何意义形法数化是关键二次三次是基础导数的应用——单调性三次函数的图像32fxaxbxcxd0a0a/()0fx（其中：⊿是方程的判别式）⊿＞0⊿≤02x1x2x1x四次函数的图像432fxaxbxcxdxe0a0a方程有/()0fx一个实根或三个实根且有二个为重根时三个互异的实根时方程有/()0fx形法数化是关键二次三次是基础导数的应用——单调性以直代曲是本质增大减小○驻点能解则解不能证讨论放缩二导法含参反用必须等等号验证常值舍最值子集灵活选变换主元分离参反用正用①形法：①顶点可导顶点不可导顶点顶点即是极值点谷底极小峰极大注1：注2：极值点是顶点的横坐标极大(小)值是顶点的纵坐标极值的概念②.数法：(3)弱化定义：(2)标准定义：(1)举例描述：参选修2-2课本P：27极值点②驻点极值点驻点③可导函数一求驻点二单调三写极值靠图象书写格式要简明含参反用须验根形法数化是关键1.一导法求极值：一般地，若f(x0)是极小值0)(0/xf则0)(0//xf0)(0//xf0)(0//xff(x0)是极大值f(x0)是非极值①②③适当结合二导法大小小大○为非2.二导法求极值2.最值的概念：(有常能等)(3)符号：(1)文字：……(2)图象：……①等式:②不等式:maxymin)(xf若且存在Cxf)(0Cxf)(则f(x)有最小值C注：极值局部最整体②.数法：①.形法：顶点即是极值点谷底极小峰极大1.极值的概念：导数法求最值必有最值闭且连最值来源顶端点一论单调算顶端三写最值是格式能代则代罗比达是则名为筛选法形法数化是关键导数的应用——堪根一、堪根的内容：根的个数求近似解形法公式法零点存在定理导数法牛顿切线法二分法隔根区间二、导数法堪根：辅助函数是关键形法数化是技巧交点坐标方程解书写格式要简明一、常见的题型：二、辅助函数的构造：导数的应用--导数不等式三、常见的技巧：常见题型解证最含参不等四成立引申双参及多参数列不等积放缩1.按问法分类：①不含参型③求最值①解不等式②证不等式2.按参量分类：②含参型单参型双参型多参型3.按知识分类：数列不等式……形法数法(1)通法特法(2)最值法子集法变换主元法分离参量法先猜后证法含参不等式常成立注1.描述方式繁多引申变式多样含参不等式恒成立含参不等式恰成立含参不等式能成立注3.解法灵活多样技巧性极强注2.常成立是基础恒成立是重点分类讨论含参不等式——四成立：一、常见的题型：二、辅助函数的构造：三、常见的技巧：1.直接法2.间接法切线法换元法参量分类法辅助函数要巧设有利求导定单调3.放缩法1.先猜后证2.二导法§35导数的应用--导数不等式(二)作差法先猜后证二导法变换主元放缩法4.变换主元法……法()lnfxx求g(x)的单调区间和最小值解：由题设知xxxg1ln)(21()xgxx,故(1)(2011年陕西简化)设当x∈(0,1)时，当x∈(1,+∞)时，,故g(x)在(1,+∞)上↗()0/gx()0/gx因此，g(x)min=g(1)=1,故g(x)在(0,1)上↘()()()gxfxfx，练习1.构造辅助函数——直接法：(2).(2006年全国Ⅱ)设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．作差法1：由题意得:当x≥0时,h(x)＝f(x)－ax≥0恒成立练习2.构造辅助函数——间接法：而h/(x)＝ln(x＋1)+1－a即h(x)在[0,＋∞)上↗，而h(0)＝0故h(x)≥0在[0,＋∞)上恒成立ⅰ:当1－a≥0,即a≤1时ⅱ:当1－a＜0,即a＞1时,h/(x)≥0在[0,+∞)上恒成立解h/(x)＞0得h(x)在上↗解h/(x)＜0得h(x)在上↘101ae，11ae,，而h(0)＝0故h(x)≥0不恒成立,舍去.综上,a≤1(2).(2006年全国Ⅱ)设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．参量分离法+先猜后证法2:因h/(x)＝ln(x＋1)+1－a即h(x)在[0,＋∞)上↗故h(x)≥h(0)＝0在[0,＋∞)上恒成立.ⅱ:当x＞0时,即a≤＞0在(0,+∞)上恒成立，而h(0)＝0综上,a≤1恒成立(1)ln(1)xxx而x→0时,→1(1)ln(1)xxx,故a≤1故所求a的取值范围一定是(－∞,1]的子集ⅰ:当x=0时,易得对任意的a有f(x)≥ax成立下证当a≤1时,h(x)＝f(x)－ax≥0恒成立2xxe(3)(2014年福建简化)证明：当x＞0时，2)(xexgx设,则xexgx2)(而当x＞0时，解得g/(x)在(0,ln2)上↘当x＞0时，解得g/(x)在(ln2,＋∞)上↗故在(0,＋∞)上恒成立所以g/(x)在(0,＋∞)上↗2)(xexg0)(xg0)(xg01)0()(gxg故0)2(ln)(gxg在(0,＋∞)上恒成立即g(x)在(0,＋∞)上↗故01)0()(gxg所以当x＞0时，2xxe二导法:变形增效法：即证：当x＞0时，2lnx-x＜0(4)(2007年山东简化)3211)11ln(nnnxn132)1ln(xxx证明：对任意的正整数n有令则原命题等价于:在(0,1]上恒成立令32)1ln()(xxxxh21()321hxxxx＞0在(0,1]上恒成立故h(x)在(0,1]上↗即h(x)＞h(0)=0在(0,1]上恒成立所以原命题成立而323(1)1xxx换元法+放缩法：(5)(2013年新课标Ⅱ简化)已知证明：当m≤2时，f(x)＞0即证：)ln(1mxxexxey)ln(mxy隔线(切线)法:1)(xexh先证：)ln(1mxxex设1)(xexhx，而易得在R上↗0)0(h故在(0,＋∞)上0)(xh0)(xh,即h(x)在(0,＋∞)上↗故在(－∞,0)上,即h(x)在(－∞,0)上↘所以在R上恒有0)0()(hxh即1xex隔线(切线)法)ln(1mxx可类似处理……(5)(2013年新课标Ⅱ简化)已知证明：当m≤2时，f(x)＞0(6)(2014年新课标Ⅰ简化)证明：变形增效法：12ln)(1xexexfxx等价于证：xxexxlne2下证：xxln最小值xxee2最大值特法也……(6)(2014年新课标Ⅰ简化)证明：xxexxln证明：令xxxfln)(,则1ln)(xxf0)(xf当x＞0时，解得f(x)在上↗0)(xf),1(e)1,0(eeefxf1)1()(故当x＞0时，解得f(x)在上↘e2令xxexg)(,则)1()(xexgx当x＞0时，解得g(x)在(0，1)上↗egxg1)1()(故0)(xg0)(xg当x＞0时，解得g(x)在(1,＋∞)上↘所以f(x)＞g(x)，即e2xxexxlne2(7)(2015年全国Ⅱ)设函数①证明:f(x)在(-∞,0)单调递减;在(0,+∞)单调递增2()mxfxexmx证:由题意得/()2mxfxmexm又因在R上恒成立//2()20mxfxme故f/(x)在R上↗，而f/(0)=0所以，当x＜0时，f/(x)＜0当x＞0时，f/(x)＞0即f(x)在(-∞,0)上单调递减f(x)在(0,+∞)上单调递增(7)(2015年全国Ⅱ)设函数2()mxfxexmx12,[1,1]xx12|()()|1fxfxe②若对于任意,都有求m的取值范围“无中生有”法1：①证明:f(x)在(-∞,0)单调递减;在(0,+∞)单调递增由①知，min()(0)1fxfmax(){(1),(1)}fxMaxffmaxmin()()1fxfxe等价于在[-1,1]上10meme10meme即,设()1mhmeme()1mhme因故在(0,＋∞)上0)(xh0)(xh故在(－∞,0)上,即h(x)在(0,＋∞)上↗,即h(x)在(－∞,0)上↘(7)(2015年全国Ⅱ)设函数2()mxfxexmx12,[1,1]xx12|()()|1fxfxe②若对于任意,都有求m的取值范围“无中生有”法1：故由可得-1≤m≤1()1mhmeme()1mhme因故在(0,＋∞)上0)(xh