【海文考研数学】：概率论基础知识归纳 第一章

圆圆工作室内部版本：仅供学习，禁止传播！钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-1-【海文考研数学】：概率论基础知识归纳【海文考研数学】：概率论基础知识归纳【海文考研数学】：概率论基础知识归纳【海文考研数学】：概率论基础知识归纳第一章第一章第一章第一章一一一一随机事件随机事件随机事件随机事件§1111几个概念1、随机实验随机实验随机实验随机实验::::满足下列三个条件的试验称为随机试验；（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。例如：E1：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。2、随机事件随机事件随机事件随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件：常记为A，B，C……例如，在E1中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。3、必然事件与不可能事件：必然事件与不可能事件：必然事件与不可能事件：必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Ω。每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为Φ。例如，在E1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件,以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件。4、基本事件基本事件基本事件基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。由基本事件构成的事件称为复合事件，例如，在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点，常记为e.例如，在E1中，用数字1，2，……，6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，…{6}便是E1中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。例如，在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为Ω。例如，在E1中，Ω={1，2，3，4，5，6}在E2中，Ω={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）}圆圆工作室内部版本：仅供学习，禁止传播！钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-2-在E3中，Ω={0，1，2，……}例1，一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种。此试验样本空间所有样本点的个数为NΩ=P210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为(组合)例2．随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。此试验的样本空间所有样本点的个数为第一种方法用组合+乘法原理；第二种方法用排列§2222事件间的关系与运算1、包含包含包含包含::::“若事件A的发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记为AB或BA。例如，在E1中，令A表示“掷出2点”的事件，即A={2}B表示“掷出偶数”的事件，即B={2，4，6}则2、相等相等相等相等：若AB且BA，则称事件A等于事件B，记为A=B例如，从一付52张的扑克牌中任取4张，令A表示“取得到少有3张红桃”的事件；B表示“取得至多有一张不是红桃”的事件。显然A=B3、和：和：和：和：称事件A与事件B至少有一个发生的事件为A与B的和事件简称为和，记为AB，或A+B例如，甲，乙两人向目标射击，令A表示“甲击中目标”的事件，B表示“乙击中目标”的事件，则AUB表示“目标被击中”的事件。推广：有限个圆圆工作室内部版本：仅供学习，禁止传播！钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-3-无穷可列个4、积：积：积：积：称事件A与事件B同时发生的事件为A与B的积事件，简称为积，记为AB或AB。例如，在E3中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令A={接到偶数次呼唤}，B={接到奇数次呼唤}，则AB={接到6的倍数次呼唤}推广：任意有限个无穷可列个5、差：差：差：差：称事件A发生但事件B不发生的事件为A减B的差事件简称为差，记为A-B。例如，测量晶体管的β参数值，令A={测得β值不超过50}，B=｛测得β值不超过100｝，则，A-B=φ，B-A=｛测得β值为50﹤β≤100｝6、互不相容互不相容互不相容互不相容：若事件A与事件B不能同时发生，即AB=φ，则称A与B是互不相容的。例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯：若A={红灯亮}，B={绿灯亮}，则A与B便是互不相容的。7、对立：对立：对立：对立：称事件A不发生的事件为A的对立事件，记为显然，A∩=φ例如，从有3个次品，7个正品的10个产品中任取3个，若令A={取得的3个产品中至少有一个次品}，则={取得的3个产品均为正品}。圆圆工作室内部版本：仅供学习，禁止传播！钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-4-§3333事件的运算规律1、交换律交换律交换律交换律A∪B=B∪A；A∩B=B∩A2、结合律结合律结合律结合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C）；（A∩B）∩C=A∩（B∩C）3、分配律分配律分配律分配律A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）4、对偶律对偶律对偶律对偶律此外，还有一些常用性质，如A∪BA，A∪BB（越求和越大）；A∩BA，A∩BB（越求积越小）。若AB，则A∪B=B,A∩B=AA-B=A-AB=A等等。例3，从一批产品中每次取一件进行检验，令Ai={第i次取得合格品},i=1,2,3,试用事件的运算符号表示下列事件。A={三次都取得合格品}Ｂ＝｛三次中至少有一次取得合格品｝Ｃ＝｛三次中恰有两次取得合格品｝Ｄ＝｛三次中最多有一次取得合格品｝解：Ａ＝Ａ１Ａ２Ａ３表示方法常常不唯一，如事件Ｂ又可表为或例4，一名射手连续向某一目标射击三次，令Ａi={第i次射击击中目标},i=1,2,3，试用文字叙述下列事件：解：A1A2A3={三次射击都击中目标}A3-A2={第三次击中目标但第二次未击中目标}例5，下图所示的电路中，以A表示“信号灯亮”这一事件，以B,C,D分别表示继电器接点，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，闭合，试写出事件A,B,C,D之间的关系。解，不难看出有如下一些关系：圆圆工作室内部版本：仅供学习，禁止传播！钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-5-二事件的概率§1111概率的定义所谓事件A的概率是指事件A发生可能性程度的数值度量，记为P（A）。规定P(A)≥0，P（Ω）=1。1111、古典概型中概率的定义、古典概型中概率的定义、古典概型中概率的定义、古典概型中概率的定义例如：掷一匀称的骰子，令A={掷出2点}={2}，B={掷出偶数总}={2，4，6}。此试验样本空间为Ω={1，2，3，4，5，6}，于是，应有1=P（Ω）=6P（A），即P（A）=。而P（B）=3P（A）=定义定义定义定义1111：：：：在古典概型中，设其样本空间Ω所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为NΩ而事件A所含的样本数，即有利于事件A发生的基本事件数为NA，则事件A的概率便定义为：例1，将一枚质地均匀的硬币一抛三次，求恰有一次正面向上的概率。解：用H表示正面，T表示反面，则该试验的样本空间Ω={（H，H，H）（H，H，T）（H，T，H）（T，H，H）（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）（T，T，T）}。可见NΩ=8令A={恰有一次出现正面}，则A={（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）}可见，令NA=3故例2，（取球问题）（取球问题）（取球问题）（取球问题）袋中有5个白球，3个黑球，分别按下列三种取法在袋中取球。（1）有放回地取球有放回地取球有放回地取球有放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后放回袋中，再取下一个球；（2）无放回地取球无放回地取球无放回地取球无放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后不再放回袋中，再取下一个球；（3）一次取球一次取球一次取球一次取球：从袋中任取3个球。在以上三种取法中均求A={恰好取得2个白球}的概率。解：（1）有放回取球NΩ=8×8×8=83=512(袋中八个球，不论什么颜色，取到每个球的概率相等)古典概型古典概型古典概型古典概型：满足下列两条件的试验模型称为古典概型。（1）所有基本事件是有限个；（2）各基本事件发生的可能性相同；圆圆工作室内部版本：仅供学习，禁止传播！钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-6-（先从三个球里取两个白球，第一次取白球有五种情况，第二次取白球还有五种情况注意是有放回，第三次取黑球只有三种情况）（2）无放回取球故（3）一次取球故属于取球问题的一个实例：设有100件产品，其中有5%的次品，今从中随机抽取15件，则其中恰有2件次品的概率便为（属于一次取球模型）例3（分球问题）（分球问题）（分球问题）（分球问题）将n个球放入N个盒子中去，试求恰有n个盒子各有一球的概率（n≤N）。解：令A={恰有n个盒子各有一球}，先考虑基本事件的总数先从N个盒子里选n个盒子，然后在n个盒子里n个球全排列故圆圆工作室内部版本：仅供学习，禁止传播！钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-7-属于分球问题的一个实例：全班有40名同学，向他们的生日皆不相同的概率为多少？令A={40个同学生日皆不相同}，则有(可以认为有365个盒子，40个球)故例4（取数问题）（取数问题）（取数问题）（取数问题）从0，1，……,9共十个数字中随机的不放回的接连取四个数字，并按其出现的先后排成一列，求下列事件的概率：（1）四个数排成一个偶数；（2）四个数排成一个四位数；（3）四个数排成一个四位偶数；解：令A={四个数排成一个偶数}，B={四个数排成一个四位数}，C={四个数排成一个四位偶数}，，例5（分组问题）（分组问题）（分组问题）（分组问题）将一幅52张的朴克牌平均地分给四个人，分别求有人手里分得13张黑桃及有人手里有4张A牌的概率各为多少？解：令A={有人手里有13张黑桃}，B={有人手里有4张A牌}于是圆圆工作室内部版本：仅供学习，禁止传播！钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-8-，故不难证明，古典概型中所定义的概率有以下三条基本性质基本性质基本性质基本性质：1°P（A）≥02°P（Ω）=13°若A1，A2，……，An两两互不相容，则2222、概率的统计定义、概率的统计定义、概率的统计定义、概率的统计定义频率：频率：频率：频率：在n次重复试验中，设事件A出现了nA次，则称：为事件A的频率。频率具有一定的稳定性。示例见下例表定义定义定义定义2222：在相同条件下，将试验重复n次，如果随着重复试验次数n的增大，事件A的频率fn(A)越来越稳定地在某一常数p附近摆动，则称常数p为事件A的概率，即P（A）=p不难证明频率有以下基本性质：1°2°3°若A1，A2，……，两两互不相容，则试验者抛硬币次数n正面（A）出现次数nA正面（A）出现的频率德·摩尔根204810610．5180浦丰404021480．