专题四十九・判断说理型问题

心智图教育．(2010江苏苏州)(本题满分9分)如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B．已知A、B两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)．(1)求抛物线的解析式；(2)设M(m，n)是抛物线上的一点(m、n为正整数)，且它位于对称轴的右侧．若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标；(3)在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA2+PB2+PM2＞28是否总成立?请说明理由．【答案】心智图教育．（10湖南益阳）如图9，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（－2，0），B（6，0），C（0，3）.(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)过Ｃ点作CD平行于x轴交抛物线于点D，写出D点的坐标，并求AD、BC的交点E的坐标；(3)若抛物线的顶点为Ｐ，连结ＰC、ＰD，判断四边形CEDP的形状，并说明理由.PACDEBoxy111心智图教育页【答案】解：⑴由于抛物线经过点)3,0(C，可设抛物线的解析式为)0(32abxaxy，则036360324baba，解得141ba∴抛物线的解析式为3412xxy……………………………4分⑵D的坐标为)3,4(D……………………………5分直线AD的解析式为121xy直线BC的解析式为321xy由321121xyxy求得交点E的坐标为)2,2(……………………………8分⑶连结PE交CD于F，P的坐标为)4,2(又∵E)2,2(，)3,4(),3,0(DC∴,1EFPF2FDCF，且PECD∴四边形CEDP是菱形……………………………12分3．（2010辽宁丹东市）如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接．．．．写出结论，不必证明或说明理由；9图心智图教育页（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．【答案】（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上，······3分（说明：答对一个给2分）（2）成立．······························4分证明：法一：连结DE，DF．··························5分∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE．···························7分在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，∴△DMF≌△DNE．···························8分∴MF=NE．··························9分法二：延长EN，则EN过点F．·······················5分∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，∴EF=DF=BF．∵∠BDM+∠MDF=60°，∠FDN+∠MDF=60°，∴∠BDM=∠FDN．····························7分图①图②图③第25题图A·BCDEF··NMFEDCBANMFEDCBA·NCABFMDENCABFMDE心智图教育又∵DM=DN，∠ABM=∠DFN=60°，∴△DBM≌△DFN．····························8分∴BM=FN．∵BF=EF，∴MF=EN．··························9分法三：连结DF，NF．·····························5分∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=AC．又∵D，E，F是三边的中点，∴DF为三角形的中位线，∴DF=21AC=21AB=DB．又∠BDM+∠MDF=60°，∠NDF+∠MDF=60°，∴∠BDM=∠FDN．···························7分在△DBM和△DFN中，DF=DB，DM=DN，∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN．∴∠B=∠DFN=60°．···························8分又∵△DEF是△ABC各边中点所构成的三角形，∴∠DFE=60°．∴可得点N在EF上，∴MF=EN．··························9分（3）画出图形（连出线段NE），·····················11分MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．··············12分4．（2010山东日照）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30o，O、A两点相距83米．（1）求出点A的坐标及直线OA的解析式；（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．心智图教育页【答案】23．（本题满分10分）解：（1）在Rt△AOC中，∵∠AOC=30o，OA=83，∴AC=OA·sin30o=83×21=34，OC=OA·cos30o=83×23=12．∴点A的坐标为（12，34）．…………………………………2分设OA的解析式为y=kx，把点A（12，34）的坐标代入得：34=12k，∴k=33，∴OA的解析式为y=33x；…………………………………………4分(2)∵顶点B的坐标是（9，12）,点O的坐标是（0，0）∴设抛物线的解析式为y=a(x-9)2+12，…………………………………6分把点O的坐标代入得：0=a（0-9）2+12，解得a=274，∴抛物线的解析式为y=274(x-9)2+12及y=274x2+38x；…………………………………………………8分(3)∵当x=12时，y=33234，∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．…………10分5．（2010山东济宁）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N.当6CP时，EM与EN的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平(第22题)心智图教育，AB分别于F，G，如图2，则可得：DFDEFCEP，因为DEEP，所以DFFC.可求出EF和EG的值，进而可求得EM与EN的比值.(1)请按照小明的思路写出求解过程.(2)小东又对此题作了进一步探究，得出了DPMN的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.【答案】（1）解：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于点F，G，则DFDEFCEP，EMEFENEG，12GFBC.∵DEEP，∴DFFC.·····························································2分∴116322EFCP，12315EGGFEF.∴31155EMEFENEG.·································································4分（2）证明：作MH∥BC交AB于点H，······················································5分则MHCBCD，90MHN.∵1809090DCP，∴DCPMHN.∵90MNHCMNDMECDP，90DPCCDP，∴DPCMNH.∴DPCMNH.·········································7分∴DPMN.············································································8分6．（2010四川凉山）已知：抛物线2(0)yaxbxca，顶点(1,4)C，与x轴交于A、B两点，(1,0)A。（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线的对称轴交于点F，依次连接A、D、B、E，点Q为线段AB上一个动点（Q与A、B两点不重合），(第22题)HBCDEMNAP心智图教育于F，QGDB于G，请判断QFQGBEAD是否为定值；若是，请求出此定值，若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点H是线段EQ上一点，过点H作MNEQ，MN分别与边AE、BE相交于M、N，（M与A、E不重合，N与E、B不重合），请判断QAEMQBEN是否成立；若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。【答案】第26题图ABxGFMHENQODCy心智图教育．（2010嵊州市）（10分）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系。（1）如图1，若AB＝BC＝AC，则AE与EF之间的数量关系是什么；（2）如图2，若AB＝BC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想，并加以证明；（3）如图3，若AB＝kBC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想不用证明。心智图教育页【答案】（1）AE＝EF（2）猜想：（1）中结论没有发生变化，即仍然为AE＝EF（过点E作EH∥AB，可证△AEH≌△FEC）（3）猜想：（1）中的结论发生变化，为AE＝kEF8．（2010浙江省温州市）(本题l2分)如图，抛物线y=ax2+bx经过点A(4，0)，B(2，2)。连结OB，AB．(1)求该抛物线的解析式；(2)求证：△OAB是等腰直角三角形；(3)将△OAB绕点0按顺时针方向旋转l35°得到△0A′B′，写出△0A′B′的中点P的出标．试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由．【答案】心智图教育．（2010福建德化）（12分）在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角α(0α120°),得△A1BC1，交AC于点E，AC分别交A1C1、BC于D、F两点．（1）如图①，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图②，当=30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，求ED的长．【答案】(1)1EAFC；提示证明1ABECBF（2）①菱形（证明略）（