中考数学图形的相似专题复习

由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费（备战中考）江苏省2012年中考数学深度复习讲义（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）图形的相似◆考点聚焦1．了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．2．探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．3．掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小．4．掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置．◆备考兵法1．证明三角形相似的方法常用的有三个，到底用哪个要根据具体情况而定，要注意基本图形的应用，如“A型”“X型”“母子型”等．2．用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题，关键是要先把实际问题转化为数学问题，识别或作出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解，并回答实际问题，注意题目的解一定要符合题意．3．用直角坐标系中的点描述物体的位置，用坐标的方法来研究图形的运动变换，是较为常见的考法，要注意训练．◆识记巩固1．相似形：形状相同，大小不一定相等的图形称为______．2．相似多边形的特征：对应边______，对应角______．由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费3．成比例线段：如果四条线段a，b，c，d中，某两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．如a：b=c：d或a：d=b：c，则a，b，c，d叫___________；若a，b，b，c成比例，即a：b=b：c，则称b是a和c的_______．4．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．对应边之比叫做________．当相似比为1时，两个三角形就称为_______．5．相似三角形的识别：（1）两组对应角分别__________的两个三角形相似；（2）两组对应边成比例，且_______相等的两个三角形相似；（3）三组对应边________的两个三角形相似；（4）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所得的三角形与原三角形________．6．相似三角形的性质：（1）相似三角形对应边成_________，对应角_______．（2）相似三角形对应线段（对应角，对应中线，对应角平分线，外接圆半径和内切圆半径）之比和周长之比都等于_______；（3）相似三角形的面积比等于_______．7．黄金分割：若线段AB上一点P分线段成AP与PB两条线段，且APPBABAP（可求出比值为0.618……），这种分割叫黄金分割．P点叫线段AB的黄金分割点，一条线段有_____个黄金分割点．由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费8．位似：对应顶点的连线_________的相似叫位似．作位似图形的方法是先确定位似中心和每个顶点之间的直线，在直线的另一侧取原多边形的对应顶点，连结各点即得放大或缩小的位似图形（注意“放大”和“放大到”的区别）．9．相似三角形中常见的基本图形：条件：DE∥BC∠1=∠B∠1=∠B条件：AB∥DE∠A=∠DCD是斜边AB上的高识记巩固参考答案:1．相似形2．成比例相等3．比例线段比例中项4．相似比全等三角形5．（1）相等（2）夹角（3）成比例（4）相似6．（1）比例相等（2）相似比（3）相似比的平方7．两8．相交于一点◆典例解析例1（2011上海，25，14分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin∠EMP=1213．（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．图1图2备用图【答案】（1）∵∠ACB=90°，∴AC=22ABBC=225030=40．∵S=12ABCP=12ACBC,∴CP=ACBCAB=403050=24．在Rt△CPM中，∵sin∠EMP=1213，∴1213CPCM．∴CM=1312CP=132412=26．（2）由△APE∽△ACB，得PEAPBCAC，即3040PEx，∴PE=34x．在Rt△MPE中，∵sin∠EMP=1213，∴1213PEME．∴EM=1312PE=133124x=1316x．∴PM=PN=22MEPE=22133164xx=516x．∵AP+PN+NB=50，∴x+516x+y=50．∴y=215016x(0x32)．（3）第三问：由于给出对应顶点，那么解法一可以直接运用相似和三角比求出对应边长再列比例式求解。本题还可以通过角度之间的关系转换求解，个人认为从角度入手更加简洁直观方法如下：①当点E在线段AC上时，由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费△AME∽△ENB，AMMEENNB．∵EM=EN，∴2EMAMNB．设AP=x，由（2）知EM=1316x，AM=xPM=5111616xxx，NB=215016x．∴2131121(50)161616xxx解得x1=22，x2=0（舍去）．即AP=22．②当点E在线段BC上时，根据外角定理，△ACE∽△EPM，∴125ACEPCEMP．∴CE=512AC=503．设AP=x，易得BE=5(50)3x，∴CE=305(50)3x．∴305(50)3x=503．解得x=42．即AP=42．∴AP的长为22或42．例2如图，已知平行四边形ABCD中，E是AB边的中点，DE交AC于点F，AC，DE把平行四边形ABCD分成的四部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．下面结论：①只有一对相似三角形；②EF：ED=1：2；③S1：S2：S3：S4=1：2：4：5．其中正确的结论是（）A．①③B．③C．①D．①②解析∵AB∥DC，∴△AEF∽△CDF，但本题还有一对相似三角形是△ABC≌△CDA（全等是相似的特例）．∴①是错的．由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费∵12AEEFCDDF，∴②EF：ED=1：2是错的．∴S△AEF：S△CDF=1：4，S△AEF：S△ADF=1：2．∴S1：S2：S3：S4=1：2：4：5，③正确．答案B点拨①利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比；（共底三角形的面积之比等于高之比）②和全等三角形一样，中考试题往往把需要证明的两个相似三角形置于其他图形（如等边三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）中，在解题时要充分挖掘其中隐含的相等角、成比例的线段和平行线，注意从复杂的图形中分离出基本的相似三角形．拓展变式点E是ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点G，则图中相似三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对答案C例3如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD，AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少？（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费解析（1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：①②，①③，①④，②③，②④，③④．其中有两组（①③，②④）是相似的．∴选取到的两个三角形是相似三角形的概率P=13．（2）证明：选择①③证明．在△AOB与△COD中，∵AB∥CD，∴∠CDB=∠DBA，∠DCA=∠CAB，∴△AOB∽△COD．选择②④证明．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠DAB=∠CAB．在△DABC与△CBA中，AD=BC，∠DAB=∠CAB，AB=AB，∴△DAB≌△CBA，∴∠ADO=∠BCO．又∠DOA=∠COB，∴DOA≌△COB．例4如图，是某城市一个主题雕塑的平面示意图，它由置放于地面L上两个半径为2米的半圆与半径为4米的⊙A构成．点B，C分别是两个半圆的圆心，⊙A分别与两个半圆相切于点E，F，BC长为8米，求EF的长．解析∵⊙A分别与两个半圆相切于点E，F，点A，B，C分别是三个圆的圆心．由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费∴AE=AF=4，BE=CF=2，AB=AC=6．在△AEF和△ABC中，∠EAF=∠BAC，AEAB=46AFAC=23，∴△AEF∽△ABC，故EFBC=AEAB．则EF=BC·AEAB=8×23=163（米）．点拨解决实际问题时，一定要先转化成数学问题，画出图形，再运用相应的知识解决．拓展变式（2008，山东聊城）如图，路灯（P点）距地面8米，身高1．6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？解析∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP，∴AMACMOOP．即1.6208MAMA，解得MA=5．同理，由△NBD∽△NOP可求得NB=1.5，所以小明的身影变短了3.5米．例5如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费边交AB于点E．我们知道，结论“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立．（1）当∠CPD=30°时，求AE的长；（2）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．解析（1）在Rt△PCD中，由tan∠CPD=CDPD，得PD=4tantan30CDCPD=43，∴AP=AD-PD=10-43．由△AEP∽△DPC知，AEAPPDCD,∴AE=APPDCD=103-12．（2）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=10-x．由△AEP∽△DPC，知CDAP=2．∴410x=2，解得x=8．此时AP=4，AE=4符合题意．故存在点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍，DP=8．点拨①本题考查用相似三角形的性质得到等量关系（比例式），建立方程解决实际问题．除了掌握相似三角形对应边、对应角的性质以外，还要注意相似三角形对应线段（对应高，对应中线，对应角平分线）之比和周长之比都等于相似比；②解决存在性问题时，一般先假设存在，建立方程，若方程有解，并且经过检验解符合题意，则存在；若方程无解或解不符合题意，则不存在．由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费2011年真题一、选择题1.（2011浙江