必修一§2.6 函数模型及其应用

第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.6函数模型及其应用问题：某种商品进货单价为40元，按单价每个50元售出，能卖出50个.如果零售价在50元的基础上每上涨1元，其销售量就减少一个。（1）零售价上涨到55元时，其销售量是多少？（2）当销售量为30个时，此时零售价又是多少呢？（3）零售价上涨到多少元时？这批货物能取得最高利润.问：•例1、某计算机集团公司生产某种型号的计算机的固定成本为200万元，每生产一台计算机增加投资3000元，每台计算机的售价为5000元，分别写出总成本C(万元),单位成本P(万元)、销售收入R（万元）以及利润L（万元）关于总量x（台）的函数关系式。给出函数的定义域•例1、某计算机集团公司生产某种型号的计算机的固定成本为200万元，每生产一台计算机增加投资3000元，每台计算机的售价为5000元，分别写出总成本C(万元),单位成本P(万元)、销售收入R（万元）以及利润L（万元）关于总量x（台）的函数关系式。总成本C（万元）关于总产量x（台）的函数关系式为单位成本P（万元）关于总产量x（台）的函数关系式为销售收入R（万元）关于总产量x（台）的函数关系式为利润L（万元）关于总产量x（台）的函数关系式为C=200+0.3xx∈N+R=0.5xx∈N+L=0.2x-200x∈N+单位统一3.0200xPx∈N+例2某科技公司生产一种产品的固定成本为20000元，每生产一个产品增加投资100元，已知总收益满足函数),4000(,21400),400(,800002)(xxxxxR其中x是产品的月产量，求每月生产多少个产品时该科技公司的利润最大？最大利润是多少？（注：总收益=总成本+利润）解：设科技公司的月产量为x个，则总成本为20000+100x,所以总利润为),4000(,2000030021)400(,100600002)(xxxxxxf；最大值为时，所以当，的对称轴为函数此时，时，当25000)(300400,03002000030021)(,2000030021)(400022xfxxxxxfxxxfx元。获得的最大利润为，获得的利润最大，此时个产品时，该科技公司答：当每月生产2500030025000)(300的最大值为时，函数综上所述，当xfx;250002000040010060000)(400xfx时，当注意：求分段函数最值的问题，求解这类问题时应该先分别求出各段上的最值，然后再比较各段上的最值，最终得到函数在定义域上的最值，从而得到符合题意的解。因此，解决应用题的一般程序是：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③解模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．例3.某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图甲，B产品的利润与投资的算术平方根成正比.其关系如图乙(注：利润与投资单位：万元)．x(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资(万元)的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元?xkxgxkxf21)(,)(41f(1)由图知,411k45,25)4(2kg又解：(1)设投资为x万元,A产品的利润为f(x)万元,B产品的利润为g(x)万元,由题设从而)0(45)(),0(41)(xxxgxxxf(2)设A产品投入x万元,则B产品投入10-x万元,设企业利润为y万元)100(104541)10()(xxxxgxfy，令xt10)100(1665)25(414541022tttty则75.3,1665,25maxxyt此时时当)100(t答:当A产品投入3.75万元,则B产品投入6.25万元,企业最大利润为1665万元.课堂小结：本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤．函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功．本节涉及的函数模型有：一次函数、二次函数、分段函数．其中，最重要的是二次函数模型．实际问题数学模型实际问题的解抽象概括数学模型的解还原说明推理演算解应用题的一般思路：答