高中数学 第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定课件

第三章直线与方程第一节直线倾斜角与斜率两条直线平行与垂直的判定•1．(1)如果不重合的两直线l1与l2的斜率k1与k2相等，则l1与l2的位置关系是．•(2)如果l1∥l2，则l1与l2的斜率．•(3)直线l1经过点A(1,2)、B(－2,3)，直线l2经过点C(0，－1)和D(－3,0)，则l1与l2位置关系是．平行相等或都不存在平行•2．(1)如果直线l1与l2的斜率k1、k2满足k1·k2＝－1，则l1l2.•(2)如果l1⊥l2，则直线l1与l2的斜率满足•．•(3)直线l1经过A(x,1)、B(－2,0)，l2的斜率为2，l1⊥l2，则x＝.k1k2＝－1或一个为0，另一个不存在－4⊥本节学习重点和难点：两条直线平行与垂直的条件．•(1)两条直线平行未必斜率相等，可能斜率不存在；两直线斜率相等，也未必平行，还有可能重合；(2)两直线垂直也是在都有斜率的前提下，才有k1k2＝－1.•当一条斜率不存在，另一条斜率为0时，也互相垂直．•[例1]判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行：•(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)；•(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；•(3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)；•(4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)．[解析](1)k1＝1－(－2)2－(－1)＝1，k2＝－1－4－1－3＝54，∵k1≠k2，∴l1与l2不平行；(2)k1＝1，k2＝2－12－1＝1，∵k1＝k2，∴l1∥l2或l1与l2重合．(3)k1＝0－11－0＝－1，k2＝0－32－(－1)＝－1，k1＝k2，显见A，B，N三点不共线，∴l1∥l2.(4)l1与l2都与x轴垂直，∵5≠－3，∴l1∥l2.已知平行四边形ABCD中，A(1,1)，B(－2，3)，C(0，－4)，则D点坐标为________．•[答案](3，－6)•[分析]利用平行四边形的对边平行确定点D的坐标．[解析]设D(x，y)∵AB∥CD∴kAB＝kCD∴3－1－2－1＝y＋4x，即2x＋3y＋12＝0(1)又∵AD∥BC∴kBC＝kAD，∴－4－30＋2＝y－1x－1即7x＋2y－9＝0(2)由(1)(2)解得x＝3y＝－6，∴D点坐标为(3，－6).•[例2]判断下列各小题中的直线l1与l2是否垂直．•(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2,1)；•(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；•(3)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．[解析](1)k1＝2－(－2)1－(－1)＝2，k2＝1－(－1)2－(－2)＝12，k1k2＝1，∴l1与l2不垂直；(2)k1＝－10，k2＝3－220－10＝110，k1k2＝－1，∴l1⊥l2；(3)∵点A、B的横坐标相同，∴l1⊥x轴；∵k2＝40－4010－(－10)＝0，∴l2∥x轴，∴l1⊥l2.•已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，则第四个顶点D的坐标为________．•[答案](2,3)•[分析]由长方形的性质知AD⊥CD，AD∥BC，则有kAD·kCD＝－1，kAD＝kBC，解方程组即可．•[解析]设第四个顶点D的坐标为(x，y)，•∵AD⊥CD，AD∥BC，•∴kAD·kCD＝－1，且kAD＝kBC.•∴第四个顶点D的坐标为(2,3)．•[点评]利用几何图形的性质解题，是一种重要的方法．•[例3]已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A、B为直径的端点作圆与x轴有交点C，求交点C的坐标．•[分析]本题中有三个点A、B、C，由于AB为直径，C为圆上的点，所以∠ACB＝90°，因此，若斜率存在，则必有kAC·kBC＝－1.列出方程求解即可．[解析]以线段AB为直径的圆与x轴交点为C，则AC⊥CB.据题设条件可知AC，BC的斜率均存在．设C(x,0)，则kAC＝－3x＋1，kBC＝－2x－4.∴－3x＋1·－2x－4＝－1.去分母解得x＝1或2.∴C(1,0)或C(2,0)．•总结评述：当AC或BC的斜率不存在时，不满足AC⊥BC.这是很明显的(上图)．故不需对AC或BC斜率不存在的情形作讨论．•[例4]若已知直线l1：ax＋2y＋6＝0，直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0(a≠0)，试求a的值，使•(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.•[分析](1)在l1上取两个点，就可以写出l1的斜率，同理写出l2的斜率，再根据题意列方程求a的值．•(2)在l1、l2上分别取两个点求出斜率，再根据题意列出a的方程解方程．[解析](1)a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0；l2：x＝0，显然l1不能平行于l2；当a≠1时，在l1上取点(0，－3)，1，－a＋62，则k1＝－a＋62－(－3)1－0＝－a2；在l2上取点(1－a2,0)，(1，－a2a－1)，则k2＝－a2a－1－01－(1－a2)＝－1a－1.l1∥l2时，k1＝k2，－a2＝－1a－1，解得a＝2，a＝－1.当a＝2时，l1的方程为2x＋2y＋6＝0，即x＋y＋3＝0，l2的方程为x＋y＋3＝0，则l1与l2重合．∴应将a＝2舍去．∴a＝－1时，l1∥l2.(2)a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，显然l1不垂直于l2.当a≠1时，在l1上取点(0，－3)，(1，－a＋62)，则k1＝－a＋62－(－3)1－0＝－a2在l2上取点(1－a2,0)，(1，－a2a－1)，则k2＝－a2a－1－01－(1－a2)＝－1a－1∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，得－a2－1a－1＝－1，解得a＝23.综上可知，a＝23时，l1⊥l2.总结评述：本题关键在于在直线上取点的坐标．•一、选择题•1．下列说法正确的是()•A．若直线l1与l2斜率相等，则l1∥l2•B．若直线l1∥l2，则kl1＝kl2•C．若直线l1，l2的斜率都不存在，则l1∥l2•D．若两条直线的斜率存在但不相等，则两直线不平行•[答案]D•[解析]l1和l2斜率相等时，l1和l2可能重合，故A错；l1∥l2时，它们可能都不存在斜率，故B错；l1、l2斜率不存在时，l1，l2可能重合，故C错．故选D.•2．满足下列条件的直线l1与l2，其中l1∥l2的是•()•①l1的斜率为2，l2过点A(1,2)，B(4,8)•②l1经过点P(3,3)，Q(－5,3)，l2平行于x轴，但不经过P点；•③l1经过点M(－1,0)，N(－5，－2)，l2经过点R(－4，3)，S(0,5)．•A．①②B．②③•C．①③D．①②③•[答案]B•二、填空题•3．顺次连结A(1，－1)，B(2，－1)，C(0,1)，D(0,0)四点所组成的图形是________．•[答案]梯形•[解析]kCB＝－1，kAD＝－1∴AD∥BC•又kAB＝0，kCD不存在∴ABCD为梯形．•4．直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)、N(x,7)、P(－1，y)，若l1⊥l2，则x＝______，y＝______.•[答案]x＝－1；y＝7•三、解答题•5．试确定m的值，使过点A(2m,2)、B(－2,3m)的直线与过点P(1,2)、Q(－6,0)的直线(1)平行；(2)垂直．