高中数学常考题型---三角函数(教师版)

高中数学常考题型---三角函数题型1、判断角的终边所在的象限【1】若α是第二象限角，试分别确定2α，α2，α3的终边所在位置．解：因为α是第二象限角，所以90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)．(1)因为180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)，故2α的终边在第三或第四象限或y轴的负半轴上．(2)因为45°＋k·180°＜α2＜90°＋k·180°(k∈Z)，当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°＜α2＜90°＋n·360°，当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°＜α2＜270°＋n·360°，所以α2的终边在第一或第三象限．(3)因为30°＋k·120°＜α3＜60°＋k·120°(k∈Z)，当k＝3n(n∈Z)时，30°＋n·360°＜α3＜60°＋n·360°，当k＝3n＋1(n∈Z)时，150°＋n·360°＜α3＜180°＋n·360°，当k＝3n＋2(n∈Z)时，270°＋n·360°＜α3＜300°＋n·360°，所以α3的终边在第一或第二或第四象限．【2】若sinθcosθ0，则角θ是()A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第二或第四象限角解：因为sinθcosθ0，所以sinθ0，cosθ0或sinθ0，cosθ0.所以角θ是第二或第四象限角．故选D.题型2、扇形的弧长、周长、面积【3】如图所示，已知扇形AOB的圆心角∠AOB＝120°，半径R＝6，求：(1)AB︵的长；(2)弓形ACB的面积．解：(1)因为∠AOB＝120°＝2π3，R＝6，所以＝2π3×6＝4π.(2)S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12R－12R2sin∠AOB＝12×4π×6－12×62×32＝12π－93.【4】若一扇形的周长为60cm，那么当它的半径和圆心角各为________cm和________rad时，扇形的面积最大．解：设该扇形的半径为r，圆心角为θ，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝60，所以l＝60－2r.所以S＝12lr＝12(60－2r)r＝－r2＋30r＝－(r－15)2＋225.所以当r＝15时，S最大，最大值为225cm2.此时，θ＝lr＝3015＝2rad.题型3、利用三角函数线解不等式【5】求证：当α∈0，π2时，sinααtanα.证明：如图所示，设角α的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于T，过P作PM⊥OA于M，连接AP，则在Rt△POM中，sinα＝MP，在Rt△AOT中，tanα＝AT，又根据弧度制的定义，有AP︵＝α·OP＝α，易知S△POAS扇形POAS△AOT，即12OA·MP12AP︵·OA12OA·AT，即sinααtanα.题型4、三角函数的定义求三角函数值【6】已知角α的终边经过点P(a，2a)(a＞0)，求sinα，cosα，tanα的值．解：因为角α的终边经过点P(a，2a)(a＞0)，所以r＝5a，x＝a，y＝2a.所以sinα＝yr＝2a5a＝255，cosα＝xr＝a5a＝55，tanα＝yx＝2aa＝2.【7】已知角α的终边经过点(－4，3)，则cosα＝()A.45B.35C．－35D．－45解：cosα＝－4（－4）2＋32＝－45.故选D.题型5、利用同角三角函数的关系求三角函数值【8】已知α∈(0，π)，且cosα＝－35，则tanα＝()【9】已知sinα＝13，且α为第二象限角，求tanα；【10】已知sinα＝13，求tanα；解：α∈(0，π)，所以sinα0，又cosα＝－35，所以sinα＝1－cos2α＝1－－352＝45，tanα＝sinαcosα＝－43.解：(1)sinα＝13，且α是第二象限角，所以cosα＝－1－sin2α＝－1－132＝－223.所以tanα＝sinαcosα＝－24.(2)因为sinα＝13，所以α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cosα＝1－sin2α＝1－132＝223，所以tanα＝sinαcosα＝24；当α是第二象限角时，tanα＝－24.题型6、利用诱导公式求三角函数值【11】化简sin（2π－α）cos（π＋α）cos()π2＋αcos()11π2－αcos（π－α）sin（3π－α）sin（－π－α）sin()9π2＋α.解：原式＝（－sinα）（－cosα）（－sinα）（－sinα）（－cosα）·sinα·sinα·cosα＝－tanα.题型7、配角法求三角函数值【12】已知θ是第四象限角，且sinθ＋π4＝35，则tanθ－π4＝________.解：由题意知，θ＋π4是第一象限角，得cosθ＋π4＝45，根据同角三角函数关系式可得tanθ＋π4＝34.所以tanθ－π4＝tanθ＋π4－π2＝－1tanθ＋π4＝－43.故填－43.【13】已知tanπ6－α＝33，则tan56π＋α＝________.解：因为π6－α＋5π6＋α＝π，所以tan56π＋α＝－tanπ－56π＋α＝－tanπ6－α＝－33.故填－33.【14】已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝17，则tanβ的值为________．解：tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tan（α＋β）－tanα1＋tan（α＋β）tanα＝17＋21－27＝3.故填3.【15】设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为________．解：cosα＋π6＝45，α为锐角，则α＋π6为锐角，sinα＋π6＝35，由二倍角公式得sin2α＋π6＝2425，cos2α＋π6＝725，所以sin2α＋π12＝sin2α＋π6－π4＝sin2α＋π6cosπ4－cos2α＋π6sinπ4＝2425×22－725×22＝17250.故填17250.【16】已知tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝12，则sin2αsin2β的值为()解：sin2αsin2β＝sin[（α＋β）＋（α－β）]sin[（α＋β）－（α－β）]＝sin（α＋β）cos（α－β）＋cos（α＋β）sin（α－β）sin（α＋β）cos（α－β）－cos（α＋β）sin（α－β）＝tan（α＋β）＋tan（α－β）tan（α＋β）－tan（α－β）＝13.【17】已知cosα＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈0，π2，则cos(α－β)的值等于()解：因为α∈0，π2，2α∈(0，π)，cosα＝13，所以cos2α＝2cos2α－1＝－79，sin2α＝1－cos22α＝429.而α，β∈0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝223.所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝－79×－13＋429×223＝2327.题型8、关于sinα，cosα的齐次式问题【18】已知tanαtanα－1＝－1，求下列各式的值．(1)sinα－3cosαsinα＋cosα；(2)sin2α＋sinαcosα＋2.解：由已知得tanα＝12.(1)sinα－3cosαsinα＋cosα＝tanα－3tanα＋1＝－53.(2)sin2α＋sinαcosα＋2＝sin2α＋sinαcosαsin2α＋cos2α＋2＝tan2α＋tanαtan2α＋1＋2＝122＋12122＋1＋2＝135.题型9、求三角函数的值域【19】函数y＝－3sin2x－4cosx＋4，x∈π3，2π3的值域是________．解：原式＝3cos2x－4cosx＋1＝3cosx－232－13，因为x∈π3，2π3，所以cosx∈－12，12.所以当cosx＝－12，即x＝23π时，y有最大值154；当cosx＝12，即x＝π3时，y有最小值－14.所以值域为－14，154.故填－14，154.【20】已知函数f(x)＝2cos2x＋π4，求函数f(x)在区间－π2，0上的最大值和最小值．解：因为－π2≤x≤0，所以－34π≤2x＋π4≤π4，所以当2x＋π4＝－34π，即x＝－π2时，f(x)有最小值，f(x)min＝－1；当2x＋π4＝0，即x＝－π8时，f(x)有最大值，f(x)max＝2，即f(x)在－π2，0上的最小值为－1，最大值为2.【21】求函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域．设t＝sinx－cosx，则t2＝1－2sinxcosx，sinxcosx＝1－t22，且－2≤t≤2.所以y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－2时，ymin＝－12－2.所以函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为－12－2，1.三角函数值域的求法求三角函数的值域常见的有以下几种类型：(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域．题型10、三角函数的定义域【22】函数y＝lg(sinx－cosx)的定义域是__________________________．解：要使函数有意义，必须使sinx－cosx＞0.解法一：利用图象．在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示：在[0，2π]内，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，在π4，5π4内sinx＞cosx，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为{xπ4＋2kπ＜x＜5π4＋2kπ，k∈Z}．解法二：利用三角函数线．如图，MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinx＞cosx，只须π4＜x＜5π4(在[0，2π]内)．所以定义域为x|π4＋2kπ＜x＜5π4＋2kπ，k∈Z．解法三：sinx－cosx＝2sinx－π4＞0，由正弦函数y＝sinx的图象和性质可知2kπ＜x－π4＜π＋2kπ，解得2kπ＋π4＜x＜5π4＋2kπ，k∈Z.所以定义域为xπ4＋2kπ＜x＜5π4＋2kπ，k∈Z.故填x|π4＋2kπ＜x＜5π4＋2kπ，k∈Z.题型11、三角函数的周期【23】在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos2x＋π6，④y＝tan2x－π4中，最小正周期为π的所有函数为()A．②④B．①③④C．①②③D．①③解：可分别求出各个函数的最小正周期．①y＝cos|2x|＝cos2x，T＝2π2＝π；②由图象知，函数的最小正周期T＝π；③T＝2π2＝π；④T＝π2.综上知，最小正周期为π的所有函数为①②③.故选C.【24】函数f(x)＝(3sinx＋cosx)(3cosx－sinx)的最小正周期是()A.π2B．πC.3π2D．2π解：f(x)＝2sinx＋π6×2cosx＋π6＝2sin2x＋π3，故最小正周期T＝2π2＝π.故选B.题型12、三角函数的奇偶性【25】已知函数f(x)＝2sinx＋θ＋π3θ∈－π2，π2是偶函数，则θ的值为()