高二数学导数的概念及运算

第一节导数的概念及运算第三单元导数及其应用基础梳理1.函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率(1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为________．(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“________”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“________”．2.函数f(x)在x=x0处的导数(1)定义设函数y=f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Dx无限趋近于0时，比值=_________无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作________．yx(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点________处的____________________．相应地，切线方程为________________3.函数f(x)的导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的________而________，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作________．4.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=kx+b(k，b为常数)f′(x)=________f(x)=Cf′(x)=________f(x)=xf′(x)=________f(x)=x2f′(x)=________f(x)=x3f′(x)=________f(x)=f′(x)=________1x原函数导函数f(x)=f′(x)=________f(x)=xa(a为常数)f′(x)=________f(x)=ax(a＞0且a¹1)f′(x)=________f(x)=logax(a＞0且a¹1)f′(x)=________f(x)=exf′(x)=________f(x)=lnxf′(x)=________f(x)=sinxf′(x)=________f(x)=cosxf′(x)=________x5.导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′=________________；(2)[Cf(x)]′=________________(C为常数)；(3)[f(x)×g(x)]′=________________；(4)′=________________[g(x)¹0]．6.复合函数的导数一般地，若y=f(u)，u=ax+b，则y′x=y′u×u′x,即y′x=y′u×a.fxgx答案：1.(1)(2)数量化视觉化2.(1)f′(x0)(2)(x0，f(x0))切线的斜率y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)3.变化变化f′(x)4.k012x3x2-axa-1axlnaexcosx-sinx5.(1)f′(x)±g′(x)(2)Cf′(x)(C为常数)(3)f′(x)g(x)+f(x)g′(x)(4)2121fxfxxx00fxxfxx21x12x1xlna2''[]fxgxfxgxgx基础达标1.函数f(x)=2x+b在区间[m，n]上的平均变化率为________．2.若f′(x0)=2，则当k无限趋近于0时，=________.3.函数y=x3+cosx的导数为________．4.(选修2-2P26第4题改编)曲线y=x-cosx在x=处的切线与直线ax+y-1=0垂直，则a的值为________．5.(选修2-2P26第6题改编)曲线y=x2+3x-8在与直线y=2的交点处的切线方程为______________________．002fxkfxk126答案：1.2解析：一次函数的平均变化率即为该函数对应直线的斜率．2.-1解析：=-×=-f′(x0)=-1.3.3x2-sinx解析：y′=(x3+cosx)′=(x3)′+(cosx)′=3x2-sinx.4.1解析：y′=+sinx，故k=y′|x==+sin=1，由于切线与直线ax+y-1=0垂直，故-a=-1，即a=1.5.7x-y-12=0和7x+y+33=0解析：当y=2时，x2+3x-10=0，解得x=2或-5，即切点分别为(2,2)和(-5,2)．又y′=2x+3，则两切线的斜率分别为7和-7.所以切线方程为y-2=7(x-2)和y-2=-7(x+5)，化简可得切线方程为7x-y-12=0和7x+y+33=0.002fxkfxk121200fxkfxk121266经典例题题型一导数的定义【例1】设函数f(x)存在导数，当t无限趋近于0时，化简=________.45fatfatt解：当t无限趋近0时，原式=4f′(a)-5f′(a)=-f′(a)．45454545,45fatfattfatfafafattfatfafatfatt题型二导数的运算【例2】求下列函数的导数．(1)y=x2×sinx；(2)y=；(3)y=(3x3-4x)(2x+1)；(4)y=.11xxee211x解：(1)y′=(x2)′sinx+x2×(sinx)′=2xsinx+x2cosx.2221'111'112(2)'.111xxxxxxxxxxxxeeeeeeeeeyeee(3)∵y=(3x3-4x)×(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x，∴y′=24x3+9x2-16x-4.(4)y′=[(1+x2)-]′=-(1+x2)-×(1+x2)′=-x(1+x2)-=-.121232322211xxx变式2-1求下列函数的导数：(1)y=x3+；(2)y=-sin；(3)y=xe1-cosx.31x21224xxcos解：(1)33233222333266110'31''()''3331.xxxyxxxxxxxxxx(2)∵y=-sin=sinx，∴y′=′=(sinx)′=cosx.(3)y′=(xe1-cosx)′=e1-cosx+x(e1-cosx)′=e1-cosx+x[e1-cosx×(1-cosx)′]=e1-cosx+xe1-cosx×sinx=(1+xsinx)e1-cosx.cos22xx1sin2x121212题型三导数的物理意义【例3】一质点运动的方程为s=8-3t2.(1)求质点在[1,1+△t]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t=1的瞬时速度．解：(1)质点在[1,1+△t]这段时间内的平均速度为(2)方法一(定义法)：由(1)得=-3△t-6.当△t趋于0时，趋于定值-6.∴质点在t=1时的瞬时速度为-6.方法二(求导法)：质点在t时刻的瞬时速度v=s′(t)=-6t，当t=1时，v=-6.118312831232663.sststttttttstst题型四导数的几何意义及在几何上的应用【例4】已知曲线y=x3+.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．1343解：(1)∵y′=x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=y′|x=2=4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0.(2)设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率k=y′|x=x0=x02.∴切线方程为y-=x02(x-x0)，即∵点P(2,4)在切线上，∴即∴x02(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0，∴(x0+1)(x0-2)2=0，解得x0=-1或x0=2，∴所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.134330014,33xx301433x230024*.33yxxx2300244*2.33xx3232200000340,440,xxxxx变式4-1求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离．解：设曲线上过点P(x0，y0)的切线平行于直线2x-y+3=0，即斜率是2，则y′|x=x0=x=x0==2，解得x0=1，所以y0=0，即点P(1,0)，点P到直线2x-y+3=0的距离为∴曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.121?ä21xx0221x22|203|5,215易错警示【例】函数y=2x2+3过点P(2,9)的切线方程为___________．错解由y=2x2+3，可得y′=4x，故y′|x=2=8，切线的斜率为8，切点为P(2,9)，故切线方程为y-9=8(x-2)，即8x-y-7=0.错解分析：切线所过定点并不一定是切点，即使此点在曲线上，也有可能另有切点存在.正解：设过点P的切线的切点为T(x0，y0)，则切线的斜率为4x0，又kPT=，故=4x0，所以2x02-8x0+6=0，解得x0=1或x0=3.即切线PT的斜率为4或12，所以过点P的切线为y=4x+1或y=12x-15.0092yx200262xx链接高考(2010·全国Ⅱ改编)若曲线y=x-在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a=________.知识准备：1.知道曲线y=x-在x=a处的切线方程的斜率是在此点处的导数，采用点斜式写出方程.2.要知道切线与坐标轴围成的三角形为直角三角形，两直角边长为截距的绝对值.12121,2aa答案：64解析：显然a＞0，∵y′=-x-，∴k=-a-，切线方程是y-a-=-a-(x-a)，令x=0，y=a-，令y=0，x=3a，所以三角形的面积是S=×3a×a-=18，解得a=64.121212121212123232323232